Описова статистика
- Середнє
- x̄ = Σx/n
- Вибіркове стандартне відхилення
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медіана
- серединне значення впорядкованих даних
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальний розподіл
- 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ
Основи статистики: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Імовірність
- Протилежна подія
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило додавання
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Незалежні події
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Умовна ймовірність
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Біноміальний розподіл
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальний розподіл
- z-оцінка
- z = (x − μ)/σ
- Менше за x
- P(X < x) = Φ(z)
- Більше за x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Між
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
- Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
- Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
- Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.
Довірчі інтервали
- σ відоме
- x̄ ± z·σ/√n
- σ невідоме
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критичне значення z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Обсяг вибірки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
- Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
- Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
- Інтервал: x̄ ± E.
Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- z-тест для середнього
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для середнього
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двобічний на рівні 5%
- відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
- Довірчий інтервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
- Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
- Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
- Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.
Лінійна регресія та кореляція
- Суми квадратів
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Нахил
- b = Sxy/Sxx
- Вільний член
- a = ȳ − b·x̄
- Кореляція
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Залишок
- e = y − ŷ
2Задачі для практики
1.Описова статистикаСередня
Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 42, 23, 19, 27, 54.
n = 5
s =
2.Описова статистикаСкладна
Величина розподілена нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Яка частка P значень більша за 185?
μ = 170σ = 10x = 185
P =
3.ІмовірністьСередня
Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,25, 0,2, 0,35
σ =
4.ІмовірністьСкладна
X має показаний розподіл, а Y = 5X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,25, 0,35, 0,25Y = 5X + 5
σY =
5.Нормальний розподілСередня
X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 28,3 min. Округліть z до двох знаків після коми.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 28,3 min
P =
6.Нормальний розподілСкладна
Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 25 % значень (25-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 25%
x = g
7.Довірчі інтервалиСередня
Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 40 телефонів, середнє 118 h, відоме стандартне відхилення 5 h. Модель 2: 60 телефонів, середнє 103,5 h, відоме стандартне відхилення 15 h. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
n₁ = 40x̄₁ = 118 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 103,5 hσ₂ = 15 h99%
верхня межа = h
8.Довірчі інтервалиСкладна
Про частку бракованих виробів наперед нічого не відомо. Скільки виробів n треба перевірити, щоб 99 % довірчий інтервал для частки мав граничну похибку не більше 0,03?
p = 0,5E = 0,0399%
n =
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 60 деталей має середню довжину 87,5 mm, відоме стандартне відхилення лінії 4 mm. Лінія 2: вибірка з 40 деталей має середнє 95,2 mm, відоме стандартне відхилення 20 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).
n₁ = 60x̄₁ = 87,5 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 40x̄₂ = 95,2 mmσ₂ = 20 mm
z =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
Односторонній z-критерій для H₀: μ = 200 проти H₁: μ > 200 виконують на рівні α = 0,05 за вибіркою обсягом 25; стандартне відхилення відоме й дорівнює 5. Насправді середнє дорівнює 202,2. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.
μ₀ = 200μ = 202,2σ = 5n = 25α = 0,05
1 − β = %
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.
n = 5
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Розчини
1.Описова статистика
Відповідь: s = 14,61
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Середнє
x̄ = 165/5 = 33
Квадрати відхилень
Σ(x − x̄)² = 9² + (−10)² + (−14)² + (−6)² + 21² = 854
Стандартне відхилення
s = √(854/4) = 14,61
Відповідь
s = 14,61
2.Описова статистика
Відповідь: P = 0,06681
Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.
Стандартизуйте
z = 1,5
Таблиця нормального розподілу
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Відповідь
P = 0,06681
3.Імовірність
Відповідь: σ = 1,145
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Середнє
μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,35 = 1,7
Середнє квадратів
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,35 = 4,2
Дисперсія
Var(X) = 4,2 − 1,7² = 1,31
σ = √1,31 = 1,145
Відповідь
σ = 1,145
4.Імовірність
Відповідь: σY = 5,025
Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.
Розкид X
μ = 1,7, Var(X) = 1,01, σX = 1,005
Лінійна зміна
σY = |5|·1,005 = 5,025
Відповідь
σY = 5,025
Середнє таки зсувається: E(Y) = 5·1,7 + 5 = 13,5.
5.Нормальний розподіл
Відповідь: P = 0,9306
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Розподіл суми
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Стандартизуйте
z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48
Верхній хвіст
P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306
Відповідь
P = 0,9306
6.Нормальний розподіл
Відповідь: x = 246,6 g
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
z для процентиля
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Назад до x
x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g
Відповідь
x = 246,63 g
7.Довірчі інтервали
Відповідь: верхня межа = 19,89 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точкова оцінка
x̄₁ − x̄₂ = 118 − 103,5 = 14,5
Стандартна похибка
SE = √(5²/40 + 15²/60) = 2,092
Похибка оцінки
E = 2,576·2,092 = 5,388
Інтервал
14,5 ± 5,388 → [9,112, 19,89]
Відповідь
верхня межа = 19,89 h
Інтервал не містить 0, тож середні значуще відрізняються.
8.Довірчі інтервали
Відповідь: n = 1844
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Виразіть n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843
Округліть угору
n = 1844
Відповідь
n = 1844
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: z = −2,403
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Стандартна похибка різниці
SE = √(4²/60 + 20²/40) = √10,27 = 3,204
Статистика критерію
z = (87,5 − 95,2)/3,204 = −2,403
Відповідь
z = −2,403
|z| > 1,96, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
Відповідь: 1 − β = 71,06 %
Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критичне вибіркове середнє
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 200 + 1,645·1 = 201,6
z при справжньому середньому
z = (201,6 − 202,2)/1 = −0,555
Потужність
потужність = P(Z > −0,555) = 71,06%
1 − β = 71,06%
Відповідь
1 − β = 71,06%
11.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: r² = 0,9926
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 261/5 = 52,2
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Syy = Σ(y − ȳ)² = 644,8
Коефіцієнт детермінації
r² = 160²/(40·644,8) = 0,9926
Відповідь
r² = 0,9926
Близько 99,26% варіації y пояснюється прямою.
12.Лінійна регресія та кореляція
Відповідь: ŷ = 23,54
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Середні
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 132/6 = 22
Суми квадратів і добутків
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Лінія регресії
b = −27/17,5 = −1,543
a = 22 − (−1,543)·3,5 = 27,4
ŷ = 27,4 − 1,543·x
Прогноз
ŷ = 27,4 + (−1,543)·2,5 = 23,54
Відповідь
ŷ = 23,54
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1