Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 57, 27, 35, 24, 21, 42, 52.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 8. Знайдіть z-оцінку z для результату 82.

μ = 70σ = 8x = 82

z =

3.ІмовірністьСередня

Правильний кубик кидають 2 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 2

P =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 7 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,4, незалежно. Яка ймовірність P рівно 3 правильних відповідей?

n = 7p = 0,4k = 3

P =

5.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 50,5 і 73 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 50,5x₂ = 73

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 95 % значень (95-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 10 елементів має середнє 38 і стандартне відхилення s = 18. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть похибку оцінки E 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 38s = 1899%t(9) = 3,25

E =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 8. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1?

σ = 8E = 199%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 100 студентів має середній бал 496,1 і вибіркове стандартне відхилення 15. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 496,1s = 15n = 100

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,05 має виявляти зсув середнього на 1 одиниць із потужністю 95 %. Стандартне відхилення 7. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,05потужність = 95%δ = 1σ = 7z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 120Σy = 311Σx² = 2970Σy² = 19915Σxy = 7683

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 60?

n = 6ŷ = 60

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,02

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 258/7 = 36,86

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 20,14² + (−9,857)² + (−1,857)² + (−12,86)² + (−15,86)² + 5,143² + 15,14² = 1179

Стандартне відхилення

s = √(1179/6) = 14,02

Відповідь

s = 14,02

2.Описова статистика

Відповідь: z = 1,5

Стандартизуйте

z = (82 − 70)/8 = 1,5

Відповідь

z = 1,5

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,3056

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Відповідь

P = 0,3056

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,2903

Біноміальна формула

P(X = 3) = 35·0,4³·0,6⁴ = 35·0,064·0,1296 = 0,2903

Відповідь

P = 0,2903

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7146

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45

z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8

Площа між

P = Φ(0,8) − Φ(−1,45) = 0,7881 − 0,07353 = 0,7146

Відповідь

P = 0,7146

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 258,2 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Назад до x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Відповідь

x = 258,22 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 18,5

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Похибка оцінки

E = 3,25·18/√10 = 18,5

Відповідь

E = 18,5

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 425

Виразіть n

n = (2,576·8/1)² = 424,7

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 425

Відповідь

n = 425

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,6

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Статистика критерію

t = (496,1 − 500)/1,5 = −2,6

Відповідь

t = −2,6

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 531

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((1,645 + 1,645)·7/1)² = 530,4

Округліть угору

n = 531

Відповідь

n = 531

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9662

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 7683 − 120·311/5 = 219

S_xx = 2970 − 120²/5 = 90

S_yy = 19915 − 311²/5 = 570,8

Коефіцієнт кореляції

r = 219/√(90·570,8) = 0,9662

Відповідь

r = 0,9662

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 4,528

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 396/6 = 66

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

Лінія регресії

b = 108/17,5 = 6,171

a = 66 − 6,171·5,5 = 32,06

ŷ = 32,06 + 6,171·x

Розв’яжіть щодо x

x = (60 − 32,06)/6,171 = 4,528

Відповідь

x = 4,528

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1