Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 53, 54, 31, 56, 36, 52.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень менша за 84?

μ = 100σ = 20x = 84

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть середнє квадратичне відхилення σ величини X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 7 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,1. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 7p = 0,1

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,1423. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,1423

z =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

90 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 6,5. Якою буде гранична похибка E₂ 99 % інтервалу за тими самими даними?

90%n₁ = 36E₁ = 6,599%

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 13. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2,5?

σ = 13E = 2,599%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 98,38 і вибіркове стандартне відхилення 5. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,38s = 5n = 64

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій для H₀: μ = 100 проти H₁: μ > 100 виконують на рівні α = 0,01 за вибіркою обсягом 100; стандартне відхилення відоме й дорівнює 10. Насправді середнє дорівнює 103,6. Знайдіть потужність 1 − β критерію у відсотках.

μ₀ = 100μ = 103,6σ = 10n = 100α = 0,01

1 − β = %

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 33Σy = 321Σx² = 199Σy² = 17711Σxy = 1859

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (16, 88). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(16, 88)

e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 10,66

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 282/6 = 47

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 6² + 7² + (−16)² + 9² + (−11)² + 5² = 568

Стандартне відхилення

s = √(568/5) = 10,66

Відповідь

s = 10,66

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2119

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблиця нормального розподілу

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Відповідь

P = 0,2119

3.Імовірність

Відповідь: σ = 0,8367

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Середнє квадратів

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсія

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Відповідь

σ = 0,8367

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,8503

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,9⁷ = 0,4783

P(X = 1) = 7·0,1·0,9⁶ = 0,372

Додайте

P = 0,4783 + 0,372 = 0,8503

Відповідь

P = 0,8503

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,07

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,1423 = 0,8577

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8577 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,07

Відповідь

z = 1,07

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9207

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01414 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,01414 = −1,41

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Відповідь

P = 0,9207

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 10,18

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/36) = 1,566

Нова похибка

E₂ = 6,5·1,566 = 10,18

Відповідь

E₂ = 10,18

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 180

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·13/2,5)² = 179,4

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 180

Відповідь

n = 180

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,592

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Статистика критерію

t = (98,38 − 100)/0,625 = −2,592

Відповідь

t = −2,592

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, тож H₀ відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: 1 − β = 89,87 %

Потужність критерію: потужність = 1 − β — імовірність відхилити H₀, коли вона хибна. Знайдіть межу x̄c з μ₀ і z_α, потім обчисліть імовірність опинитися за x̄c при справжньому середньому: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критичне вибіркове середнє

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 100 + 2,326·1 = 102,3

z при справжньому середньому

z = (102,3 − 103,6)/1 = −1,274

Потужність

потужність = P(Z > −1,274) = 89,87%

1 − β = 89,87%

Відповідь

1 − β = 89,87%

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9641

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 1859 − 33·321/6 = 93,5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 17711 − 321²/6 = 537,5

Коефіцієнт кореляції

r = 93,5/√(17,5·537,5) = 0,9641

Відповідь

r = 0,9641

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −2,25

Середні

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 533/5 = 106,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218

Лінія регресії

b = 218/40 = 5,45

a = 106,6 − 5,45·19 = 3,05

ŷ = 3,05 + 5,45·x

Прогнозоване значення

ŷ = 3,05 + 5,45·16 = 90,25

Залишок

e = 88 − 90,25 = −2,25

Відповідь

e = −2,25

Точка лежить нижче прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1