Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
15202530354045

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 48, 45, 27, 11, 26, 25, 46.

n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 50 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 27,5?

μ = 50σ = 15x = 27,5
P =
3.ІмовірністьСередня
P(принаймні одна шістка) = ??1?2?3?4?5P(шістка) = 1/6 за кожного кидка

Правильний кубик кидають 5 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 5
P =
4.ІмовірністьСкладна
xp(x)00,310,0520,3530,3μ

X має показаний розподіл, а Y = 0,5X + 20. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,05, 0,35, 0,3Y = 0,5X + 20
σY =
5.Нормальний розподілСередня
−3−2−10123zзаштрихована площа між −z і z = 0,8557

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8557. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8557
z =
6.Нормальний розподілСкладна
μ = 65x = ?90%

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 90%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 15, sd​ = 1,50LUd̄ = 0,9E = ?95%

Артеріальний тиск 15 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє 0,9 і стандартне відхилення 1,5. Знайдіть граничну похибку E 95 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 15d̄ = 0,9sd = 1,595%t(14) = 2,145
E = mmHg
8.Довірчі інтервалиСкладна
n = 15σ = ?Us = 6,995%

Діаметри 15 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 6,9 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: нижня межа σ. При df = 14 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 5,629 і 2,5 % — вище від 26,119.

n = 15s = 6,9 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −1,98401,984

Вибірка з 100 студентів має середній бал 48,56 і вибіркове стандартне відхилення 8. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,56s = 8n = 100
t =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,64501,645

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 71,5. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 20. Знайдіть нижню межу L 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 71,5σ = 20n = 6490%
L =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy1423425487549601168xy51040506070

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6
r² =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy123223321419521619xy2462022x = 3,5

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (3,5, 25). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 25)
e =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 13,96

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 228/7 = 32,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 15,43² + 12,43² + (−5,571)² + (−21,57)² + (−6,571)² + (−7,571)² + 13,43² = 1170

Стандартне відхилення

s = √(1170/6) = 13,96

Відповідь

s = 13,96
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332
3.Імовірність

Відповідь: P = 0,5981

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Відповідь

P = 0,5981
4.Імовірність

Відповідь: σY = 0,5974

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,65, Var(X) = 1,427, σX = 1,195

Лінійна зміна

σY = |0,5|·1,195 = 0,5974

Відповідь

σY = 0,5974

Середнє таки зсувається: E(Y) = 0,5·1,65 + 20 = 20,82.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,46

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8557)/2 = 0,9279

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9279 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,46

Відповідь

z = 1,46
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 77,82 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 балів

Відповідь

x = 77,82 балів
7.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 0,8308 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 14, t = 2,145

Похибка оцінки

E = 2,145·1,5/√15 = 0,8308

Відповідь

E = 0,8308 mmHg
8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 5,052 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 14·6,9² = 666,5

Межі для σ²

666,5/26,119 = 25,52
666,5/5,629 = 118,4

Межа для σ

σ = √25,52 = 5,052 µm

Відповідь

σ = 5,052 µm

95 % інтервал для σ: [5,052, 10,88] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −1,8

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Статистика критерію

t = (48,56 − 50)/0,8 = −1,8

Відповідь

t = −1,8
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: L = 67,39

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,645·20/√64 = 4,112

Межа інтервалу

L = 71,5 − 4,112 = 67,39

Відповідь

L = 67,39
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9562

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 314/6 = 52,33

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190
Syy = Σ(y − ȳ)² = 539,3

Коефіцієнт детермінації

r² = 190²/(70·539,3) = 0,9562

Відповідь

r² = 0,9562

Близько 95,62% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = 4

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 126/6 = 21

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

Лінія регресії

b = −14/17,5 = −0,8
a = 21 − (−0,8)·3,5 = 23,8
ŷ = 23,8 − 0,8·x

Прогнозоване значення

ŷ = 23,8 + (−0,8)·3,5 = 21

Залишок

e = 25 − 21 = 4

Відповідь

e = 4

Точка лежить вище прямої.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1