Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 29, 58, 44, 46, 50, 19, 59.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 100 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень менша за 115?

μ = 100σ = 15x = 115

P =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,15, 0,3, 0,2, 0,25

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €2 з імовірністю 0,3 і €50 з імовірністю 0,05; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€2: p = 0,3€50: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

Маси ящики незалежні та нормальні із середнім 12 kg і середнім квадратичним відхиленням 0,8 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 4 з них перевищує 45,6 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4> 45,6 kg

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,04 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Довірчі інтервалиСередня

99 % довірчий інтервал для середнього, побудований за 36 спостереженнями з відомим σ, має граничну похибку 7,1. Якою буде гранична похибка E₂ 95 % інтервалу за тими самими даними?

99%n₁ = 36E₁ = 7,195%

E₂ =

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 24. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 99 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 2?

σ = 24E = 299%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 6 студентів, середній бал 57, стандартне відхилення 12. Група 2: 6 студентів, середній бал 61,1, стандартне відхилення 3,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 6x̄₁ = 57s₁ = 12n₂ = 6x̄₂ = 61,1s₂ = 3,5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 5 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 9. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.

α = 0,01потужність = 90%δ = 5σ = 9z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r.

n = 5

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,77

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 305/7 = 43,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = (−14,57)² + 14,43² + 0,4286² + 2,429² + 6,429² + (−24,57)² + 15,43² = 1310

Стандартне відхилення

s = √(1310/6) = 14,77

Відповідь

s = 14,77

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = 1

Таблиця нормального розподілу

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,628

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,1 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,2 + 5·0,25 = 3,35

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,2 + 25·0,25 = 12,85

Дисперсія

Var(X) = 12,85 − 3,35² = 1,628

Відповідь

Var(X) = 1,628

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 2,1 €

Чисті результати

G: 1 (p = 0,3), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,65)

Математичне сподівання

E(G) = 1·0,3 + 49·0,05 − 1·0,65 = 2,1 €

Відповідь

E(G) = 2,1 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9332

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 48 kg, σ_T = 0,8·√4 = 1,6 kg

Стандартизуйте

z = (45,6 − 48)/1,6 = −1,5

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332

6.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9452

Розподіл різниці

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Відповідь

P = 0,9452

7.Довірчі інтервали

Відповідь: E₂ = 5,402

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Відношення похибок

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(36/36) = 0,7609

Нова похибка

E₂ = 7,1·0,7609 = 5,402

Відповідь

E₂ = 5,402

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 956

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (2,576·24/2)² = 955,6

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 956

Відповідь

n = 956

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −0,8034

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (5·12² + 5·3,5²)/10 = 78,13

s_p = 8,839

Стандартна похибка

SE = 8,839·√(1/6 + 1/6) = 5,103

Статистика критерію

t = (57 − 61,1)/5,103 = −0,8034

Відповідь

t = −0,8034

При df = 10 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,228; |t| менше, тож H₀ не відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 43

Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.

Виразіть n

n = ((2,326 + 1,282)·9/5)² = 42,18

Округліть угору

n = 43

Відповідь

n = 43

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = −0,8752

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 108/5 = 21,6

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 75,2

Коефіцієнт кореляції

r = −24/√(10·75,2) = −0,8752

Відповідь

r = −0,8752

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 20,47

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 135/6 = 22,5

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35,5

Лінія регресії

b = −35,5/17,5 = −2,029

a = 22,5 − (−2,029)·3,5 = 29,6

ŷ = 29,6 − 2,029·x

Прогноз

ŷ = 29,6 + (−2,029)·4,5 = 20,47

Відповідь

ŷ = 20,47

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1