Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 37, 15, 33, 21, 12, 24, 58.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 5. Знайдіть z-оцінку z для результату 52,5.

μ = 60σ = 5x = 52,5

z =

3.ІмовірністьСередня

У мішечку 5 червоних і 5 синіх кульок. Ви витягуєте дві кульки, не повертаючи першу. Яка ймовірність P, що обидві червоні?

5 / 5

P =

4.ІмовірністьСкладна

Участь у грі коштує €1. Ви виграєте €5 з імовірністю 0,2 і €10 з імовірністю 0,02; в інших випадках не виграєте нічого. Ставка не повертається. Знайдіть очікуваний чистий виграш E(G) за гру.

ставка = €1€5: p = 0,2€10: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 769,7 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 769,7 g

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 30 телефонів, середнє 53,5 h, відоме стандартне відхилення 14 h. Модель 2: 40 телефонів, середнє 49,5 h, відоме стандартне відхилення 17 h. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 53,5 hσ₁ = 14 hn₂ = 40x̄₂ = 49,5 hσ₂ = 17 h95%

нижня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 27 kg, стандартне відхилення 8 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 32 kg, стандартне відхилення 9 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 27s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 32s₂ = 999%t(14) = 2,977

верхня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Дві виробничі лінії виготовляють однакову деталь. Лінія 1: вибірка з 30 деталей має середню довжину 103 mm, відоме стандартне відхилення лінії 7 mm. Лінія 2: вибірка з 50 деталей має середнє 105,4 mm, відоме стандартне відхилення 14 mm. Знайдіть статистику критерію z для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (лінія 1 мінус лінія 2).

n₁ = 30x̄₁ = 103 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 105,4 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 99 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 3? Стандартне відхилення — 12. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 12E = 399%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 6Σx = 129Σy = 498Σx² = 2931Σy² = 43930Σxy = 11334

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 15,78

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 200/7 = 28,57

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 8,429² + (−13,57)² + 4,429² + (−7,571)² + (−16,57)² + (−4,571)² + 29,43² = 1494

Стандартне відхилення

s = √(1494/6) = 15,78

Відповідь

s = 15,78

2.Описова статистика

Відповідь: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (52,5 − 60)/5 = −1,5

Відповідь

z = −1,5

3.Імовірність

Відповідь: P = 0,2222

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Перше і друге витягування

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0,2222

Відповідь

P = 0,2222

4.Імовірність

Відповідь: E(G) = 0,2 €

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Чисті результати

G: 4 (p = 0,2), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,78)

Математичне сподівання

E(G) = 4·0,2 + 9·0,02 − 1·0,78 = 0,2 €

Відповідь

E(G) = 0,2 €

Додатне значення означає, що в середньому ви виграєте гроші.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,02275

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Відповідь

P = 0,02275

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 253,4 g

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g

Відповідь

x = 253,37 g

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −3,27 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 53,5 − 49,5 = 4

Стандартна похибка

SE = √(14²/30 + 17²/40) = 3,709

Похибка оцінки

E = 1,96·3,709 = 7,27

Інтервал

4 ± 7,27 → [−3,27, 11,27]

Відповідь

нижня межа = −3,27 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 7,667 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (8·8² + 6·9²)/14 = 71,29

s_p = 8,443

Похибка оцінки

E = 2,977·8,443·√(1/9 + 1/7) = 12,67

Інтервал

−5 ± 12,67 → [−17,67, 7,667]

Відповідь

верхня межа = 7,667 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: z = −1,018

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартна похибка різниці

SE = √(7²/30 + 14²/50) = √5,553 = 2,357

Статистика критерію

z = (103 − 105,4)/2,357 = −1,018

Відповідь

z = −1,018

|z| < 1.96, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 107

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (2,576·12/3)² = 106,2

Округліть угору

n = 107

Відповідь

n = 107

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9806

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 11334 − 129·498/6 = 627

S_xx = 2931 − 129²/6 = 157,5

S_yy = 43930 − 498²/6 = 2596

Коефіцієнт кореляції

r = 627/√(157,5·2596) = 0,9806

Відповідь

r = 0,9806

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 33,58

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 268/6 = 44,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 97

Лінія регресії

b = 97/17,5 = 5,543

a = 44,67 − 5,543·3,5 = 25,27

ŷ = 25,27 + 5,543·x

Прогноз

ŷ = 25,27 + 5,543·1,5 = 33,58

Відповідь

ŷ = 33,58

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1