Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 56, 19, 39, 55, 35, 60, 51.

n = 7

s =

2.Описова статистикаСкладна

Оцінки за іспит розподілені нормально із середнім 170 і стандартним відхиленням 10. Знайдіть z-оцінку z для результату 158.

μ = 170σ = 10x = 158

z =

3.ІмовірністьСередня

Для показаного розподілу знайдіть дисперсію Var(X) величини X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,2, 0,15, 0,3, 0,3

Var(X) =

4.ІмовірністьСкладна

Тестують 8 компонентів, кожен виходить з ладу незалежно з імовірністю 0,6. Яка ймовірність P, що з ладу вийде щонайбільше один?

n = 8p = 0,6

P =

5.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 120 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,3 mm; Y незалежна й нормальна із середнім 80 mm і середнім квадратичним відхиленням 0,4 mm. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 199,6 mm. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,6 mm

P =

6.Нормальний розподілСкладна

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 75 % значень (75-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

7.Довірчі інтервалиСередня

Артеріальний тиск 12 пацієнтів вимірюють до й після лікування. Різниці d = до − після (mmHg) мають середнє −7,2 і стандартне відхилення 1,2. Знайдіть верхню межу 90 % довірчого інтервалу для середньої різниці.

n = 12d̄ = −7,2s_d = 1,290%t(11) = 1,796

верхня межа = mmHg

8.Довірчі інтервалиСкладна

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 58 kg, стандартне відхилення 4,5 kg. Група ділянок 2: 7 ділянок, середнє 57,5 kg, стандартне відхилення 5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 58s₁ = 4,5n₂ = 7x̄₂ = 57,5s₂ = 590%t(14) = 1,761

нижня межа = kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 6 студентів, середній бал 48,5, стандартне відхилення 8,5. Група 2: 25 студентів, середній бал 39,6, стандартне відхилення 5,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 6x̄₁ = 48,5s₁ = 8,5n₂ = 25x̄₂ = 39,6s₂ = 5,5

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 90 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 1? Стандартне відхилення — 10. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 10E = 190%

n =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 6

r² =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 58?

n = 6ŷ = 58

x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 14,69

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 315/7 = 45

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 11² + (−26)² + (−6)² + 10² + (−10)² + 15² + 6² = 1294

Стандартне відхилення

s = √(1294/6) = 14,69

Відповідь

s = 14,69

2.Описова статистика

Відповідь: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (158 − 170)/10 = −1,2

Відповідь

z = −1,2

3.Імовірність

Відповідь: Var(X) = 1,54

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σ_Y = |a|·σ_X; додавання сталої не змінює розкид.

Середнє

μ = 1·0,05 + 2·0,2 + 3·0,15 + 4·0,3 + 5·0,3 = 3,6

Середнє квадратів

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,2 + 9·0,15 + 16·0,3 + 25·0,3 = 14,5

Дисперсія

Var(X) = 14,5 − 3,6² = 1,54

Відповідь

Var(X) = 1,54

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,00852

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Нуль і одна відмова

P(X = 0) = 0,4⁸ = 0,0006554

P(X = 1) = 8·0,6·0,4⁷ = 0,007864

Додайте

P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852

Відповідь

P = 0,00852

5.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (199,6 − 200)/0,5 = −0,8

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 36,05 min

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Назад до x

x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min

Відповідь

x = 36,05 min

7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = −6,578 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критичне значення

df = 11, t = 1,796

Похибка оцінки

E = 1,796·1,2/√12 = 0,6222

Інтервал

−7,2 ± 0,6222 → [−7,822, −6,578]

Відповідь

верхня межа = −6,578 mmHg

8.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −3,69 kg

Об’єднане стандартне відхилення

s_p² = (8·4,5² + 6·5²)/14 = 22,29

s_p = 4,721

Похибка оцінки

E = 1,761·4,721·√(1/9 + 1/7) = 4,19

Інтервал

0,5 ± 4,19 → [−3,69, 4,69]

Відповідь

нижня межа = −3,69 kg

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 3,197

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (5·8,5² + 24·5,5²)/29 = 37,49

s_p = 6,123

Стандартна похибка

SE = 6,123·√(1/6 + 1/25) = 2,784

Статистика критерію

t = (48,5 − 39,6)/2,784 = 3,197

Відповідь

t = 3,197

При df = 29 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,045; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 271

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,645·10/1)² = 270,6

Округліть угору

n = 271

Відповідь

n = 271

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,8345

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 421/6 = 70,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 302,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 66,5²/(17,5·302,8) = 0,8345

Відповідь

r² = 0,8345

Близько 83,45% варіації y пояснюється прямою.

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 2,459

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 391/6 = 65,17

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120,5

Лінія регресії

b = 120,5/17,5 = 6,886

a = 65,17 − 6,886·3,5 = 41,07

ŷ = 41,07 + 6,886·x

Розв’яжіть щодо x

x = (58 − 41,07)/6,886 = 2,459

Відповідь

x = 2,459

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1