Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє: x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана: серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл: 68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія: P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 54, 12, 37, 58, 21, 60.

n = 6

s =

2.Описова статистикаСкладна

Величина розподілена нормально із середнім 70 і стандартним відхиленням 20. Яка частка P значень більша за 82?

μ = 70σ = 20x = 82

P =

3.ІмовірністьСередня

Скількома способами N можна обрати комісію з 5 осіб із групи з 8 осіб? Порядок не має значення.

n = 8k = 5

N =

4.ІмовірністьСкладна

Тест має 11 питань з варіантами відповідей. Студентка, яка вгадує, відповідає правильно на кожне з імовірністю 0,6, незалежно. Яка ймовірність P рівно 2 правильних відповідей?

n = 11p = 0,6k = 2

P =

5.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,1230. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,1230

z =

6.Нормальний розподілСкладна

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 25% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів25%

x = балів

7.Довірчі інтервалиСередня

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 80 телефонів, середнє 53,5 h, відоме стандартне відхилення 19 h. Модель 2: 100 телефонів, середнє 51,5 h, відоме стандартне відхилення 17 h. Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 53,5 hσ₁ = 19 hn₂ = 100x̄₂ = 51,5 hσ₂ = 17 h95%

нижня межа = h

8.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 5. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 90 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 0,5?

σ = 5E = 0,590%

n =

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 64 студентів має середній бал 75,35 і вибіркове стандартне відхилення 4. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,35s = 4n = 64

t =

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Вибірка з 64 вимірювань має середнє 498,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 12. Знайдіть верхню межу U 90 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 498,6σ = 12n = 6490%

U =

11.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 163Σx² = 55Σy² = 5427Σxy = 519

r =

12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 6 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 3.

n = 6x = 3

ŷ =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 20,36

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 242/6 = 40,33

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 13,67² + (−28,33)² + (−3,333)² + 17,67² + (−19,33)² + 19,67² = 2073

Стандартне відхилення

s = √(2073/5) = 20,36

Відповідь

s = 20,36

2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,2743

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблиця нормального розподілу

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Відповідь

P = 0,2743

3.Імовірність

Відповідь: N = 56

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Комбінації

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

Відповідь

N = 56

4.Імовірність

Відповідь: P = 0,00519

Біноміальна формула

P(X = 2) = 55·0,6²·0,4⁹ = 55·0,36·0,0002621 = 0,00519

Відповідь

P = 0,00519

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,16

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,1230 = 0,8770

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,8770 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,16

Відповідь

z = 1,16

6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 110,1 балів

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,75

z з таблиці

z ≈ 0,67

Назад до початкових одиниць

x = 100 + 0,67·15 = 110,1 балів

Відповідь

x = 110,1 балів

7.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −3,333 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 53,5 − 51,5 = 2

Стандартна похибка

SE = √(19²/80 + 17²/100) = 2,721

Похибка оцінки

E = 1,96·2,721 = 5,333

Інтервал

2 ± 5,333 → [−3,333, 7,333]

Відповідь

нижня межа = −3,333 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

8.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 271

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Виразіть n

n = (1,645·5/0,5)² = 270,6

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 271

Відповідь

n = 271

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Статистика критерію

t = (75,35 − 75)/0,5 = 0,7

Відповідь

t = 0,7

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 501,1

Похибка оцінки

E = 1,645·12/√64 = 2,468

Межа інтервалу

U = 498,6 + 2,468 = 501,1

Відповідь

U = 501,1

11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,8917

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

S_xy = 519 − 15·163/5 = 30

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 5427 − 163²/5 = 113,2

Коефіцієнт кореляції

r = 30/√(10·113,2) = 0,8917

Відповідь

r = 0,8917

12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 62,21

Середні

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 544/6 = 90,67

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 498

Лінія регресії

b = 498/70 = 7,114

a = 90,67 − 7,114·7 = 40,87

ŷ = 40,87 + 7,114·x

Прогноз

ŷ = 40,87 + 7,114·3 = 62,21

Відповідь

ŷ = 62,21

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1