Основи статистики: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 12 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Описова статистика

Середнє
x̄ = Σx/n
Вибіркове стандартне відхилення
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медіана
серединне значення впорядкованих даних
z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Нормальний розподіл
68% у межах ±1σ, 95% у межах ±2σ

Імовірність

Протилежна подія
P(not A) = 1 − P(A)
Правило додавання
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Незалежні події
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Умовна ймовірність
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Біноміальний розподіл
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

2Задачі для практики

1.Описова статистикаСередня
1520253035404550

Знайдіть вибіркове стандартне відхилення s даних: 54, 38, 13, 48, 30, 44, 37.

n = 7
s =
2.Описова статистикаСкладна
z −2−1012

Величина розподілена нормально із середнім 60 і стандартним відхиленням 15. Яка частка P значень більша за 37,5?

μ = 60σ = 15x = 37,5
P =
3.ІмовірністьСередня
P(принаймні одна шістка) = ??1?2P(шістка) = 1/6 за кожного кидка

Правильний кубик кидають 2 разів. Яка ймовірність P отримати хоча б одну шістку?

n = 2
P =
4.ІмовірністьСкладна
xp(x)00,1510,2520,2530,35μ

X має показаний розподіл, а Y = 10X + 5. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σY величини Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,25, 0,25, 0,35Y = 10X + 5
σY =
5.Нормальний розподілСередня
−3−2−10123zзаштрихована площа між −z і z = 0,9488

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9488. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9488
z =
6.Нормальний розподілСкладна
μ = 65x = ?20%

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 20%
x = балів
7.Довірчі інтервалиСередня
n = 10, s = 2,5LU = ?x̄ = 69,5E99%

Вибірка з 10 елементів має середнє 69,5 і стандартне відхилення s = 2,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 69,5s = 2,599%t(9) = 3,25
верхня межа =
8.Довірчі інтервалиСкладна
n = 30Lσ = ?s = 8,995%

Діаметри 30 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 8,9 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 29 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 16,047 і 2,5 % — вище від 45,722.

n = 30s = 8,9 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
−2,362,36p = ?

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 15. Випадкова вибірка з 36 спостережень має середнє 125,9. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ ≠ 120. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 120σ = 15n = 36x̄ = 125,9H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,9601,96

Вибірка з 49 вимірювань має середнє 201,1. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 4. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 201,1σ = 4n = 4995%
U =
11.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy142249359456562xy245060

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 15Σy = 268Σx² = 55Σy² = 14626Σxy = 851
r =
12.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy12222131941651268xy246101520ŷ = 11

Таблиця містить 6 пар спостережень x = вік автомобіля в роках і y = ціна в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Для якого значення x пряма прогнозує ŷ = 11?

n = 6ŷ = 11
x =

3Розчини

1.Описова статистика

Відповідь: s = 13,43

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Середнє

x̄ = 264/7 = 37,71

Квадрати відхилень

Σ(x − x̄)² = 16,29² + 0,2857² + (−24,71)² + 10,29² + (−7,714)² + 6,286² + (−0,7143)² = 1081

Стандартне відхилення

s = √(1081/6) = 13,43

Відповідь

s = 13,43
2.Описова статистика

Відповідь: P = 0,9332

Описова статистика: середнє — сума, поділена на n; медіана — середнє значення впорядкованих даних (середнє двох середніх при парному n). Вибіркове стандартне відхилення s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оцінка z = (x − μ)/σ показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього.

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблиця нормального розподілу

Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Відповідь

P = 0,9332
3.Імовірність

Відповідь: P = 0,3056

Імовірність: за рівноможливих наслідків P(A) = сприятливі/усі. Для незалежних подій імовірності множать: P(A і B) = P(A)·P(B). Часто допомагає протилежна подія: P(хоча б одна) = 1 − P(жодної). Біноміальний розподіл: у n незалежних випробуваннях з імовірністю успіху p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Протилежна подія

P(немає шістки) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Відповідь

P = 0,3056
4.Імовірність

Відповідь: σY = 10,77

Дискретні випадкові величини: розподіл імовірностей перелічує всі значення x, яких може набувати величина, з імовірністю p(x); імовірності лежать між 0 і 1 та в сумі дають 1. Математичне сподівання (середнє) — E(X) = Σx·p(x), довгострокове середнє. Дисперсія — Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а середнє квадратичне відхилення σ = √Var(X). Для лінійної зміни Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) і σY = |a|·σX; додавання сталої не змінює розкид.

Розкид X

μ = 1,8, Var(X) = 1,16, σX = 1,077

Лінійна зміна

σY = |10|·1,077 = 10,77

Відповідь

σY = 10,77

Середнє таки зсувається: E(Y) = 10·1,8 + 5 = 23.

5.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,95

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9488)/2 = 0,9744

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9744 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,95

Відповідь

z = 1,95
6.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 56,58 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Назад до x

x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 балів

Відповідь

x = 56,58 балів
7.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 72,07

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Похибка оцінки

E = 3,25·2,5/√10 = 2,569

Інтервал

69,5 ± 2,569 → [66,93, 72,07]

Відповідь

верхня межа = 72,07
8.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 11,96 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 29·8,9² = 2297

Межі для σ²

2297/45,722 = 50,24
2297/16,047 = 143,1

Межа для σ

σ = √143,1 = 11,96 µm

Відповідь

σ = 11,96 µm

95 % інтервал для σ: [7,088, 11,96] µm.

9.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,01827

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 15/√36 = 2,5
z = (125,9 − 120)/2,5 = 2,36

Площа хвоста

Φ(2,36) = 0,9909
1 − Φ(2,36) = 0,0091

p-значення

p = 2·0,0091 = 0,01827

Відповідь

p = 0,01827

p ≤ 0,05, тож H₀ відхиляється на рівні 5 %.

10.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 202,2

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·4/√49 = 1,12

Межа інтервалу

U = 201,1 + 1,12 = 202,2

Відповідь

U = 202,2
11.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9196

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 851 − 15·268/5 = 47
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 14626 − 268²/5 = 261,2

Коефіцієнт кореляції

r = 47/√(10·261,2) = 0,9196

Відповідь

r = 0,9196
12.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: x = 5,367

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 98/6 = 16,33

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50

Лінія регресії

b = −50/17,5 = −2,857
a = 16,33 − (−2,857)·3,5 = 26,33
ŷ = 26,33 − 2,857·x

Розв’яжіть щодо x

x = (11 − 26,33)/(−2,857) = 5,367

Відповідь

x = 5,367

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1