Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,0158. Знайдіть z до двох знаків після коми.
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 20 % значень (20-й процентиль).
Вибірка з 6 елементів має середнє 35 і стандартне відхилення s = 4,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 95 % довірчого інтервалу для середнього.
Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 9 ділянок, середній урожай 10,5 kg, стандартне відхилення 9 kg. Група ділянок 2: 12 ділянок, середнє 15 kg, стандартне відхилення 6 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть нижню межу 95 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.
Порівнюють два методи навчання. Група 1: 17 студентів, середній бал 32, стандартне відхилення 7,5. Група 2: 14 студентів, середній бал 39,7, стандартне відхилення 5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).
Односторонній z-критерій на рівні α = 0,01 має виявляти зсув середнього на 2 одиниць із потужністю 90 %. Стандартне відхилення 6. Знайдіть мінімальний обсяг вибірки n.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.
Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 62). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.
Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.
Критерій узгодженості хі-квадрат перевіряє, чи частоти в 9 категоріях відповідають розподілу Пуассона, середнє якого оцінено з тих самих даних. За таблицею знайдіть критичне значення χ²crit при рівні значущості α = 0,01.
Відповідь: z = 2,15
Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.
Знайдіть 0,9842 усередині таблиці й зчитайте z.
Відповідь: x = 56,58 балів
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
Відповідь: верхня межа = 39,72
Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.
Відповідь: нижня межа = −11,34 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Відповідь: t = −3,283
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
При df = 29 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,045; |t| більше, тож H₀ відхиляється.
Відповідь: n = 118
Обсяг вибірки для критерію: щоб виявити справжній зсув δ з потужністю 1 − β в односторонньому z-критерії на рівні α, стандартна похибка має задовольняти δ = (z_α + z_β)·σ/√n, тож n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² з округленням угору.
Відповідь: r = 0,9722
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Відповідь: e = 1,55
Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.
Точка лежить вище прямої.
Відповідь: χ² = 1,643
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.
Відповідь: χ²crit = 18,48
Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.
Відхиліть H₀, якщо обчислене χ² більше за це значення.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference