Статистика 2: Статистичне висновування: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме: x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для середнього: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%: відхиліть H₀, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил: b = S_xy/S_xx
Вільний член: a = ȳ − b·x̄
Кореляція: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Залишок: e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію: χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit): E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення: відхилити H₀, якщо χ² > χ²_crit

2Задачі для практики

1.Нормальний розподілСередня

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 10 з них перевищує 398,1 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 398,1 g

P =

2.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 25% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

3.Довірчі інтервалиСередня

Вибірка з 10 елементів має середнє 84 і стандартне відхилення s = 10. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть нижню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 10x̄ = 84s = 1099%t(9) = 3,25

нижня межа =

4.Довірчі інтервалиСкладна

Стандартне відхилення генеральної сукупності дорівнює 38. Який обсяг вибірки n потрібен, щоб похибка оцінки 95 % довірчого інтервалу для середнього не перевищувала 1,5?

σ = 38E = 1,595%

n =

5.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня

Порівнюють два методи навчання. Група 1: 5 студентів, середній бал 99,5, стандартне відхилення 3. Група 2: 12 студентів, середній бал 112,1, стандартне відхилення 10,5. Вважайте дисперсії генеральних сукупностей рівними й використайте двовибірковий t-критерій з об’єднаною дисперсією. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ₁ = μ₂, беручи різницю x̄₁ − x̄₂ (група 1 мінус група 2).

n₁ = 5x̄₁ = 99,5s₁ = 3n₂ = 12x̄₂ = 112,1s₂ = 10,5

t =

6.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2? Стандартне відхилення — 4. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 4E = 295%

n =

7.Лінійна регресія та кореляціяСередня

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Знайдіть коефіцієнт детермінації r² прямої найменших квадратів.

n = 5

r² =

8.Лінійна регресія та кореляціяСкладна

Таблиця містить 5 пар спостережень x = години навчання і y = бал за іспит. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Отримано нове спостереження (1,5, 43). Знайдіть його залишок e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 43)

e =

9.Критерії хі-квадратСередня

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1402 × 2

χ² =

10.Критерії хі-квадратСкладна

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 1603 × 2α = 0,05

χ² =

3Розчини

1.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6915

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Стандартизуйте

z = (398,1 − 400)/3,795 = −0,5

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Відповідь

P = 0,6915

2.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 253,4 g

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,75

z з таблиці

z ≈ 0,67

Назад до початкових одиниць

x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g

Відповідь

x = 253,4 g

3.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = 73,72

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Похибка оцінки

E = 3,25·10/√10 = 10,28

Інтервал

84 ± 10,28 → [73,72, 94,28]

Відповідь

нижня межа = 73,72

4.Довірчі інтервали

Відповідь: n = 2466

Виразіть n

n = (1,96·38/1,5)² = 2465

Округліть угору

Обсяг вибірки — ціле число, а округлення вниз зробило б похибку оцінки завеликою.

n = 2466

Відповідь

n = 2466

5.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = −2,594

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Об’єднана дисперсія

s_p² = (4·3² + 11·10,5²)/15 = 83,25

s_p = 9,124

Стандартна похибка

SE = 9,124·√(1/5 + 1/12) = 4,857

Статистика критерію

t = (99,5 − 112,1)/4,857 = −2,594

Відповідь

t = −2,594

При df = 15 двостороннє критичне значення на рівні 5 % дорівнює 2,131; |t| більше, тож H₀ відхиляється.

6.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 16

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,96·4/2)² = 15,37

Округліть угору

n = 16

Відповідь

n = 16

7.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r² = 0,9875

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 334/5 = 66,8

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 894,8

Коефіцієнт детермінації

r² = 188²/(40·894,8) = 0,9875

Відповідь

r² = 0,9875

Близько 98,75% варіації y пояснюється прямою.

8.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: e = −3

Середні

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 257/5 = 51,4

Суми квадратів і добутків

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36

Лінія регресії

b = 36/10 = 3,6

a = 51,4 − 3,6·3 = 40,6

ŷ = 40,6 + 3,6·x

Прогнозоване значення

ŷ = 40,6 + 3,6·1,5 = 46

Залишок

e = 43 − 46 = −3

Відповідь

e = −3

Точка лежить нижче прямої.

9.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 5,538

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

курці: 100·49/140 = 35, 100·91/140 = 65

некурці: 40·49/140 = 14, 40·91/140 = 26

Статистика хі-квадрат

χ² = (41 − 35)²/35 + (59 − 65)²/65 + (8 − 14)²/14 + (32 − 26)²/26

χ² = 5,538

Відповідь

χ² = 5,538

df = 1. При α = 0,05 критичне значення 3,841, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

10.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 17,77

Очікувані частоти

лінія 1: 30, 30

лінія 2: 30, 30

лінія 3: 20, 20

Статистика хі-квадрат

χ² = (28 − 30)²/30 + (32 − 30)²/30 + (21 − 30)²/30 + (39 − 30)²/30 + (31 − 20)²/20 + (9 − 20)²/20

χ² = 17,77

Рішення

df = 2, χ²_crit = 5,991

17,77 > 5,991

Відповідь

χ² = 17,77

χ² вище за критичне значення, тож H₀ відхиляється: змінні, схоже, пов’язані.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference