Статистика 2: Статистичне висновування: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Нормальний розподілСередня
452574P = ?

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Яка частка значень лежить між 452 і 574 h? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 500σ = 40x1 = 452x2 = 574
P =
2.Нормальний розподілСкладна
0,03 mm0D − d?

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
3.Довірчі інтервалиСередня
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

Порівнюють час роботи акумуляторів двох моделей телефонів. Модель 1: 50 телефонів, середнє 61 h, відоме стандартне відхилення 11 h. Модель 2: 50 телефонів, середнє 58 h, відоме стандартне відхилення 16 h. Знайдіть нижню межу 90 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 61 hσ₁ = 11 hn₂ = 50x̄₂ = 58 hσ₂ = 16 h90%
нижня межа = h
4.Довірчі інтервалиСкладна
μ₁ − μ₂, t(19) = 2,8610LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

Випробовують два добрива. Група ділянок 1: 13 ділянок, середній урожай 69,5 kg, стандартне відхилення 3 kg. Група ділянок 2: 8 ділянок, середнє 65,5 kg, стандартне відхилення 3,5 kg. Вважайте дисперсії рівними (t-критерій з об’єднаною дисперсією, df = n₁ + n₂ − 2). Знайдіть граничну похибку E 99 % довірчого інтервалу для μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 69,5s₁ = 3n₂ = 8x̄₂ = 65,5s₂ = 3,599%t(19) = 2,861
E = kg
5.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
−1,021,02p = ?

Стверджується, що середнє генеральної сукупності дорівнює 120; стандартне відхилення генеральної сукупності відоме й дорівнює 24. Випадкова вибірка з 36 спостережень має середнє 124,08. Перевірте H₀: μ = 120 проти H₁: μ ≠ 120. Знайдіть p-значення p.

μ₀ = 120σ = 24n = 36x̄ = 124,08H₁: μ ≠ μ₀
p =
6.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,595%

Якою має бути вибірка, щоб 95 % довірчий інтервал для середнього мав похибку не більше 2,5? Стандартне відхилення — 5. Знайдіть найменший обсяг вибірки n.

σ = 5E = 2,595%
n =
7.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy28486118141020xy510101520

Таблиця містить 5 пар спостережень x = навантаження в kN і y = видовження в mm. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 30Σy = 61Σx² = 220Σy² = 845Σxy = 426
r =
8.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy184621542457276930833390xy2025306080x = 28,5

Таблиця містить 6 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 28,5.

n = 6x = 28,5
ŷ =
9.Критерії хі-квадратСередня
без дефектунезначнийзначнийРазомденна зміна25233280нічна зміна353748120Разом606080200

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 2002 × 3
χ² =
10.Критерії хі-квадратСкладна

Критерій незалежності хі-квадрат застосовують до таблиці спряженості з 4 рядками й 4 стовпцями (без урахування підсумків). Скільки ступенів вільності df має критерій?

4 × 4
df =

3Розчини

1.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8528

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (452 − 500)/40 = −1,2
z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85

Площа між

P = Φ(1,85) − Φ(−1,2) = 0,9678 − 0,1151 = 0,8528

Відповідь

P = 0,8528
2.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8849

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Відповідь

P = 0,8849
3.Довірчі інтервали

Відповідь: нижня межа = −1,517 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точкова оцінка

x̄₁ − x̄₂ = 61 − 58 = 3

Стандартна похибка

SE = √(11²/50 + 16²/50) = 2,746

Похибка оцінки

E = 1,645·2,746 = 4,517

Інтервал

3 ± 4,517 → [−1,517, 7,517]

Відповідь

нижня межа = −1,517 h

Інтервал містить 0, тож дані не показують значущої різниці.

4.Довірчі інтервали

Відповідь: E = 4,105 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Об’єднане стандартне відхилення

sp² = (12·3² + 7·3,5²)/19 = 10,2
sp = 3,193

Похибка оцінки

E = 2,861·3,193·√(1/13 + 1/8) = 4,105

Відповідь

E = 4,105 kg
5.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: p = 0,3077

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерію

SE = σ/√n = 24/√36 = 4
z = (124,08 − 120)/4 = 1,02

Площа хвоста

Φ(1,02) = 0,8461
1 − Φ(1,02) = 0,1539

p-значення

p = 2·0,1539 = 0,3077

Відповідь

p = 0,3077

p > 0,05, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 %.

6.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: n = 16

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Виразіть n

n = (1,96·5/2,5)² = 15,37

Округліть угору

n = 16

Відповідь

n = 16
7.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9449

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 426 − 30·61/5 = 60
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 845 − 61²/5 = 100,8

Коефіцієнт кореляції

r = 60/√(40·100,8) = 0,9449

Відповідь

r = 0,9449
8.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 75,61

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 399/6 = 66,5

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 478,5

Лінія регресії

b = 478,5/157,5 = 3,038
a = 66,5 − 3,038·25,5 = −10,97
ŷ = −10,97 + 3,038·x

Прогноз

ŷ = −10,97 + 3,038·28,5 = 75,61

Відповідь

ŷ = 75,61
9.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 0,1389

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

денна зміна: 80·60/200 = 24, 80·60/200 = 24, 80·80/200 = 32
нічна зміна: 120·60/200 = 36, 120·60/200 = 36, 120·80/200 = 48

Статистика хі-квадрат

χ² = (25 − 24)²/24 + (23 − 24)²/24 + (32 − 32)²/32 + (35 − 36)²/36 + (37 − 36)²/36 + (48 − 48)²/48
χ² = 0,1389

Відповідь

χ² = 0,1389

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) не відхиляється.

10.Критерії хі-квадрат

Відповідь: df = 9

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Ступені вільності

df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9

Відповідь

df = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference