Статистика 2: Статистичне висновування: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Нормальний розподіл

z-оцінка
z = (x − μ)/σ
Менше за x
P(X < x) = Φ(z)
Більше за x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
  2. Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
  3. Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
  4. Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

Довірчі інтервали

σ відоме
x̄ ± z·σ/√n
σ невідоме
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критичне значення z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Обсяг вибірки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Оберіть між z (σ генеральної сукупності відоме) і t (відоме лише вибіркове s, з n − 1 ступенями вільності).
  2. Знайдіть критичне значення для рівня довіри.
  3. Похибка оцінки: E = критичне значення × стандартне відхилення/√n.
  4. Інтервал: x̄ ± E.

Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

z-тест для середнього
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для середнього
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двобічний на рівні 5%
відхиліть H0, якщо |z| > 1,96
Довірчий інтервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулюйте H₀ і H₁ та визначте, чи критерій однобічний, чи двобічний.
  2. Обчисліть статистику критерію: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), або з s і t.
  3. Порівняйте з критичним значенням або знайдіть p-значення.
  4. Відхиліть H₀, якщо статистика виходить за критичне значення (p менше за α), і сформулюйте висновок словами.

Лінійна регресія та кореляція

Суми квадратів
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Нахил
b = Sxy/Sxx
Вільний член
a = ȳ − b·x̄
Кореляція
r = Sxy/√(SxxSyy)
Залишок
e = y − ŷ

Критерії хі-квадрат

Статистика критерію
χ² = Σ(O − E)²/E
Узгодженість (goodness of fit)
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Незалежність
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критичні значення (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Рішення
відхилити H0, якщо χ² > χ²crit

2Задачі для практики

1.Нормальний розподілСередня
850 kg831 kgT = X₁ + … + X₁₀?

Маси пасажири з багажем незалежні та нормальні із середнім 85 kg і середнім квадратичним відхиленням 12 kg. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 10 з них перевищує 831 kg. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10> 831 kg
P =
2.Нормальний розподілСкладна
10 g0X − Y?

Маса виробу з лінії 1 (X) і з лінії 2 (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 500 g і середнє квадратичне відхилення 8 g, Y має середнє 490 g і середнє квадратичне відхилення 6 g. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
3.Довірчі інтервалиСередня
n = 15, s = 4,5LU = ?x̄ = 17,5E99%

Вибірка з 15 елементів має середнє 17,5 і стандартне відхилення s = 4,5. Генеральна сукупність розподілена приблизно нормально. Знайдіть верхню межу 99 % довірчого інтервалу для середнього.

n = 15x̄ = 17,5s = 4,599%t(14) = 2,977
верхня межа =
4.Довірчі інтервалиСкладна
n = 16Lσ = ?s = 3,295%

Діаметри 16 оброблених валів мають вибіркове стандартне відхилення 3,2 µm. Вважаючи діаметри нормально розподіленими, знайдіть для 95 % довірчого інтервалу стандартного відхилення генеральної сукупності таку межу: верхня межа σ. При df = 15 2,5 % розподілу χ² лежить нижче від 6,262 і 2,5 % — вище від 27,488.

n = 16s = 3,2 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
5.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСередня
t −2,13102,131

Вибірка з 16 студентів має середній бал 103,5 і вибіркове стандартне відхилення 20. Знайдіть статистику критерію t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103,5s = 20n = 16
t =
6.Перевірка гіпотез і довірчі інтервалиСкладна
z −1,9601,96

Вибірка з 25 вимірювань має середнє 102,6. Стандартне відхилення генеральної сукупності — 8. Знайдіть верхню межу U 95 % довірчого інтервалу для середнього.

x̄ = 102,6σ = 8n = 2595%
U =
7.Лінійна регресія та кореляціяСередня
xy17861994211022312325122xy2025100120

Таблиця містить 5 пар спостережень x = температура в °C і y = продано морозива. Задано їхні суми. Знайдіть коефіцієнт кореляції Пірсона r за цими сумами.

n = 5Σx = 105Σy = 527Σx² = 2245Σy² = 56649Σxy = 11269
r =
8.Лінійна регресія та кореляціяСкладна
xy2244316348411041xy5103040x = 7

Таблиця містить 5 пар спостережень x = витрати на рекламу в k€ і y = продажі в k€. Використайте пряму найменших квадратів ŷ = a + b·x. Спрогнозуйте ŷ для x = 7.

n = 5x = 7
ŷ =
9.Критерії хі-квадратСередня
низькийсереднійвисокийРазомміські274152120сільські531440Разом327256160

Таблиця спряженості містить спостережувані частоти. Обчисліть статистику хі-квадрат χ² для перевірки незалежності змінних рядків і стовпців. Не використовуйте поправку на неперервність.

N = 1602 × 3
χ² =
10.Критерії хі-квадратСкладна
придатнийбракРазомзавод A192140завод B374380завод C241640Разом8080160dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Таблиця містить спостережувані частоти. Перевірте при α = 0,05, чи дві змінні незалежні (без поправки на неперервність). Обчисліть статистику критерію χ², а потім порівняйте її з критичним значенням з таблиці.

N = 1603 × 2α = 0,05
χ² =

3Розчини

1.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6915

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μT = 850 kg, σT = 12·√10 = 37,95 kg

Стандартизуйте

z = (831 − 850)/37,95 = −0,5

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Відповідь

P = 0,6915
2.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8413

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Імовірність

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Відповідь

P = 0,8413
3.Довірчі інтервали

Відповідь: верхня межа = 20,96

Довірчий інтервал для середнього: x̄ ± похибка оцінки. Якщо σ генеральної сукупності відоме, похибка оцінки дорівнює z·σ/√n; якщо відоме лише вибіркове стандартне відхилення s, використовуйте t з n − 1 ступенями вільності: t·s/√n. Критичні значення: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Щоб похибка оцінки не перевищувала E, потрібен обсяг вибірки n ≥ (z·σ/E)², округлений угору.

Критичне значення

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Похибка оцінки

E = 2,977·4,5/√15 = 3,459

Інтервал

17,5 ± 3,459 → [14,04, 20,96]

Відповідь

верхня межа = 20,96
4.Довірчі інтервали

Відповідь: σ = 4,953 µm

Інтервал для дисперсії: (n − 1)s²/σ² має розподіл χ² з n − 1 ступенями свободи. 95 % інтервал для σ² простягається від (n − 1)s², поділеного на верхнє значення χ² (2,5 % вище від нього), до (n − 1)s², поділеного на нижнє значення χ² (2,5 % нижче від нього); інтервал для σ — квадратні корені з обох меж. Він несиметричний відносно s.

Сума квадратів

(n − 1)s² = 15·3,2² = 153,6

Межі для σ²

153,6/27,488 = 5,588
153,6/6,262 = 24,53

Межа для σ

σ = √24,53 = 4,953 µm

Відповідь

σ = 4,953 µm

95 % інтервал для σ: [2,364, 4,953] µm.

5.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: t = 0,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Стандартна похибка

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Статистика критерію

t = (103,5 − 100)/5 = 0,7

Відповідь

t = 0,7
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131, тож H₀ не відхиляється на рівні 5 % (двосторонній критерій).

6.Перевірка гіпотез і довірчі інтервали

Відповідь: U = 105,7

Перевірка середнього: статистика критерію показує, на скільки стандартних похибок вибіркове середнє віддалене від значення з H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), коли σ відоме, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), коли його оцінюють за вибіркою. Довірчий інтервал — x̄ ± (критичне значення)·(стандартна похибка).

Похибка оцінки

E = 1,96·8/√25 = 3,136

Межа інтервалу

U = 102,6 + 3,136 = 105,7

Відповідь

U = 105,7
7.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: r = 0,9616

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Центровані суми

Sxy = 11269 − 105·527/5 = 202
Sxx = 2245 − 105²/5 = 40
Syy = 56649 − 527²/5 = 1103

Коефіцієнт кореляції

r = 202/√(40·1103) = 0,9616

Відповідь

r = 0,9616
8.Лінійна регресія та кореляція

Відповідь: ŷ = 36,4

Регресія методом найменших квадратів: якщо x̄ і ȳ — середні, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² і Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), то пряма ŷ = a + b·x має нахил b = Sxy/Sxx і вільний член a = ȳ − b·x̄, тож вона завжди проходить через (x̄, ȳ). Коефіцієнт кореляції Пірсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежить між −1 і 1; r² — частка варіації y, пояснена прямою.

Середні

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 171/5 = 34,2

Суми квадратів і добутків

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

Лінія регресії

b = 88/40 = 2,2
a = 34,2 − 2,2·6 = 21
ŷ = 21 + 2,2·x

Прогноз

ŷ = 21 + 2,2·7 = 36,4

Відповідь

ŷ = 36,4
9.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 23,54

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

міські: 120·32/160 = 24, 120·72/160 = 54, 120·56/160 = 42
сільські: 40·32/160 = 8, 40·72/160 = 18, 40·56/160 = 14

Статистика хі-квадрат

χ² = (27 − 24)²/24 + (41 − 54)²/54 + (52 − 42)²/42 + (5 − 8)²/8 + (31 − 18)²/18 + (4 − 14)²/14
χ² = 23,54

Відповідь

χ² = 23,54

df = 2. При α = 0,05 критичне значення 5,991, тож H₀ (незалежність) відхиляється.

10.Критерії хі-квадрат

Відповідь: χ² = 2,15

Критерії хі-квадрат: порівнюють спостережувані частоти O з очікуваними за H₀ частотами E за допомогою χ² = Σ(O − E)²/E. Узгодженість: E = n·p для кожної категорії, df = k − 1 (і ще мінус один за кожен параметр, оцінений з даних). Незалежність у таблиці r × c: E = сума рядка × сума стовпця / загальна сума, df = (r − 1)(c − 1). H₀ відхиляють, коли χ² перевищує критичне значення для обраного α.

Очікувані частоти

завод A: 20, 20
завод B: 40, 40
завод C: 20, 20

Статистика хі-квадрат

χ² = (19 − 20)²/20 + (21 − 20)²/20 + (37 − 40)²/40 + (43 − 40)²/40 + (24 − 20)²/20 + (16 − 20)²/20
χ² = 2,15

Рішення

df = 2, χ²crit = 5,991
2,15 < 5,991

Відповідь

χ² = 2,15

χ² нижче за критичне значення, тож H₀ не відхиляється: значущих доказів зв’язку немає.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference