Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 15 kNP2​ = 60 kNABRA​ = ?RB​1 m3 m1 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 5 mP1 = 15 kN у 1 mP2 = 60 kN у 4 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 2 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?RB​2 m1 m1 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 4 mP = 10 kN у 2 mw = 2 kN/m від 2 до 3 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
M0​ = 20 kN·mAB3 m2 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 20 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 3 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mM0 = 20 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 3 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
10 kN/m40 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

40 kN @ 12 m60 kN @ 4 m10 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB15 kN6 m4 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 15 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB10 kN25 kN4 m1 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 10 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN ←
FAB = kN
7.Прогин балкиСередня
P = 21 kNABδ4 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 4 m від опори A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 21 kNa = 4 mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 25 kNABδ2,5 m1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1,5 m від опори B. Знайдіть прогин δmid посередині прольоту.

P = 25 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 3 md = 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 95 kNL = 6 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 95 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 95 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 24 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 15 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​1 m3 m1 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 60·4
RB = 255/5 = 51 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 51 = 24 kN

Відповідь

RA = 24 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 5,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 2 kN/mP = 10 kNABRA​RB​2 m1 m1 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·2 + 2·1·2,5
RB = 25/4 = 6,25 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6,25 = 5,75 kN

Відповідь

RA = 5,75 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = −12 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 20/5 = 4 kN (вгору)
RA = −RB = −4 kN (вниз)

Переріз безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту

Ліва частина містить лише RA.

Mx = RA·a = −4·3 = −12 kN·m

Відповідь

Mx = −12 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 50 kN, R2 = 130 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 80, MC = 120, MD = 0, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0

Відповідь

Позначка E: ME = −160 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −7,071 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·4 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 10 = 5 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5/0,7071 = −7,071 kN

Відповідь

FAB = −7,071 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −33,5 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB10 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·1 − 25·4 → Cy = −22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −22,5 = 32,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −32,5/0,9701 = −33,5 kN

Відповідь

FAB = −33,5 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δP = 8,889 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 21000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa²b²/(3EIL) = 21000·4000²·1000²/(3·2,52 × 10¹²·5000) = 8,889 mm

Відповідь

δP = 8,889 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmid = 76,94 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 25000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогин посередині прольоту

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 25000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·3,96 × 10¹¹) = 76,94 mm

Відповідь

δmid = 76,94 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 2,412 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·3000 = 6000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2,412 kN

Відповідь

Pcr = 2,412 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 168,5 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2·95000 = 190000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 168,5 mm

Відповідь

d = 168,5 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 284,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis