Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 25 kNP2​ = 25 kNABCRB​ = ?4 m0,5 m1,5 m

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4,5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 4,5 mAC = 6 mP1 = 25 kN у 4 mP2 = 25 kN у 6 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​ = ?RB​2 m2,5 m1,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 6 mP = 20 kN у 4,5 mw = 10 kN/m від 2 до 6 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 8 kN/mABпереріз1,5 m2,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 8 kN/m від 0 до 4 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 12 kN/mP = 25 kNAB9 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 10 mP = 25 kN у 9 mw = 12 kN/m від 0 до 10 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB60 kN4 m1 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 60 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB50 kN30 kN4 m3 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 50 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →
FAC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 5 kN/mδL = 3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 15 kN/mδL = 8 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колонСередня
PL = 1,5 m25 × 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 15 kNL = 6 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 15 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 15 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 55,56 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 25·4 + 25·6
RB = 250/4,5 = 55,56 kN

Рівновага по вертикалі

RA = 25 + 25 − 55,56 = −5,556 kN

Відповідь

RB = 55,56 kN

RA від’ємна: шарнір A має утримувати балку від підйому.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 18,33 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​RB​2 m2,5 m1,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·4,5 + 10·4·4
RB = 250/6 = 41,67 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 41,67 = 18,33 kN

Відповідь

RA = 18,33 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 15 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16переріз1,5 m2,5 m

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 16·1,5 − 8·1,5·0,75 = 15 kN·m

Відповідь

Mx = 15 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 162,8 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·9 + 12·10·5
RB = 825/10 = 82,5 kN
ΣFy = 0: RA = 145 − 82,5 = 62,5 kN

Де V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 62,5/12 = 5,208 m

Максимальний момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 62,5·5,208 − 12·5,208²/2 = 162,8 kN·m

Відповідь

Mmax = 162,8 kN·m

Це в точці x = 5,208 m від A.

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −46,38 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·1 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 15 = 45 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −45/0,9701 = −46,38 kN

Відповідь

FAB = −46,38 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 26,25 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB50 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 + 30·2 → Cy = 52,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 52,5 = −2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −52,5/0,8944 = −58,7 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−58,7)·0,4472 = 26,25 kN

Відповідь

FAC = 26,25 kN (розтяг)
7.Прогин балки

Відповідь: δmax = 1,146 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 1,146 mm

Відповідь

δmax = 1,146 mm
8.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 180 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·8000⁴/(384·200000·22,22) = 1,8 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 180 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 180 × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 95,95 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/750² = 95954 N = 95,95 kN

Відповідь

Pcr = 95,95 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 58,79 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 3·15000 = 45000 N
KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 58,79 mm

Відповідь

d = 58,79 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 204,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis