Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
w = 2 kN/mP = 70 kNABRA​ = ?2,5 m2,5 m1 m

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 2,5 m і зосередженою силою P на відстані 5 m від стіни. Знайдіть вертикальну реакцію RA у стіні.

L = 6 mP = 70 kN у 5 mw = 2 kN/m від 0 до 2,5 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 4 kN/mP = 80 kNABCRB​ = ?2 m2,5 m1,5 m

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4,5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 2 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 2 m до вільного кінця в 6 m. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 80 kN у 2 mw = 4 kN/m від 2 до 6 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 8 kN/mABпереріз2 m8 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 8 kN/m від 0 до 10 mx = 2 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 10 kN/mP = 20 kNABпереріз1 m7 m2 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 8 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 20 kN у 1 mw = 10 kN/m від 0 до 10 mx = 8 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB35 kN5 m1 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 35 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB40 kN5 kN4 m1 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN ←
FBC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 5 kN/mP = 12 kNABδ3 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 12 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 2 kNABδ5 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δmax балки.

P = 2 kNb = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 2 m25 × 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 2 md = 25 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 75 kN

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 2·2,5 = 5 kN, x̄ = 1,25 m

Рівновага по вертикалі

RA = P + W = 70 + 5 = 75 kN

Відповідь

RA = 75 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 49,78 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 4·4 = 16 kN, x̄ = (2 + 6)/2 = 4 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 80·2 + 16·4
RB = 224/4,5 = 49,78 kN
RA = 96 − 49,78 = 46,22 kN

Відповідь

RB = 49,78 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 64 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40переріз2 m8 m

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 40·2 − 8·2·1 = 64 kN·m

Відповідь

Mx = 64 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 84 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·1 + 10·10·5
RB = 520/10 = 52 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 52 = 68 kN
w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​ = 68RB​ = 52переріз1 m7 m2 m

Розріжте в x = 8 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 68·8 − 20·(8 − 1) − 10·8·4 = 84 kN·m

Відповідь

Mx = 84 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 14 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·1 → Cy = 7 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 7 = 28 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7/0,4472 = −15,65 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−15,65)·0,8944 = 14 kN

Відповідь

FAC = 14 kN (розтяг)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −8,839 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB40 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 − 5·3 → Cy = 6,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 6,25 = 33,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6,25/0,7071 = −8,839 kN

Відповідь

FBC = −8,839 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 4,957 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 12000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(3EI) = 12000·3000³/(3·3,2 × 10¹³) = 3,375 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 1,582 mm

Додайте

δ = 3,375 + 1,582 = 4,957 mm

Відповідь

δ = 4,957 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 4,792 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 2000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

Максимальний прогин

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 4,792 mm

Відповідь

δmax = 4,792 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 4,498 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/4000² = 4498 N = 4,498 kN

Відповідь

Pcr = 4,498 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 39,34 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/6,25 = 224

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/224² = 39,34 MPa

Відповідь

σcr = 39,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis