Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 1,5 m від A і зосередженим моментом M, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані 2 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 4 mP = 10 kN у 1,5 mM = 30 kN·m (за годинниковою стрілкою) у 2 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (5 m від A) і спирається на рухому опору в D (10 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 8 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 5 mAD = 10 mP = 60 kN у 8 mw = 8 kN/m від 5 до 10 m

M_A = kN·m

3.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mP₁ = 20 kN у 7 mP₂ = 55 kN у 8 m

M_max = kN·m

4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 0 m40 kN @ 6 m8 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓F: 30 kN ↓H: 25 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 7 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1 m від опори B. Знайдіть прогин δ_mid посередині прольоту.

P = 5 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 5 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 5 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 11,25 kN

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 10·1,5 − 30 = 0

R_B = 45/4 = 11,25 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 10 − 11,25 = −1,25 kN

Відповідь

R_B = 11,25 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 220 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 8·5 = 40 kN у 2,5 m від C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 60·3 + 40·2,5

R_D = 56 kN

V_C = 100 − 56 = 44 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 44 = 44 kN

M_A = 44·5 = 220 kN·m

Відповідь

M_A = 220 kN·m

3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 119 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·7 + 55·8

R_B = 580/10 = 58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 58 = 17 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·7 = 17·7 = 119 kN·m

під P₂: M = R_B·2 = 58·2 = 116 kN·m

Найбільше значення

M_max = 119 kN·m (під P₁)

Відповідь

M_max = 119 kN·m

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 1 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 62,25 kN, R₂ = 54,75 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −45 kN·m, M_C = −31,75, M_D = −26,5, M_E = −29,25, M_F = −40, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = −45 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −53,81 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·1 → C_y = 6,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 6,875 = 48,13 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −48,13/0,8944 = −53,81 kN

Відповідь

F_AB = −53,81 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 46,25 kN (T), BC: 30,83 kN (T), CD: 30,83 kN (T), DE: 15,42 kN (T), FG: 71,25 kN (C), GH: 40,42 kN (C), AF: 89,06 kN (C), HE: 19,27 kN (C), BF: 23,44 kN (T), CG: 0, DH: 11,56 kN (T), BG: 19,27 kN (T), DG: 19,27 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 1,128 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 7000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 7000·1500²·3500²/(3·1,14 × 10¹³·5000) = 1,128 mm

Відповідь

δ_P = 1,128 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_mid = 4,908 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 5000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогин посередині прольоту

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 5000·1000·(3·8000² − 4·1000²)/(48·3,99 × 10¹²) = 4,908 mm

Відповідь

δ_mid = 4,908 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 6,89 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6,89 kN

Відповідь

P_cr = 6,89 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 43,9 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 43,9 mm

Відповідь

d = 43,9 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 546,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis