Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4,5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 4,5 mAC = 6 mP₁ = 15 kN у 2 mP₂ = 10 kN у 6 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 3 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 5 m до вільного кінця в 8 m. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 6 mAC = 8 mP = 35 kN у 3 mw = 8 kN/m від 5 до 8 m

R_B = kN

3.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mP₁ = 30 kN у 2 mP₂ = 30 kN у 6 m

M_max = kN·m

4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 45 kN у 5 mw = 6 kN/m від 0 до 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 10 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN →

F_BC = kN

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 4 mw = 12 kN/m

R_B = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 60 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 60 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 20 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 15·2 + 10·6

R_B = 90/4,5 = 20 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 15 + 10 − 20 = 5 kN

Відповідь

R_B = 20 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 43,5 kN

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 8·3 = 24 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6,5 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3 + 24·6,5

R_B = 261/6 = 43,5 kN

R_A = 59 − 43,5 = 15,5 kN

Відповідь

R_B = 43,5 kN

3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 96 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·2 + 30·6

R_B = 240/10 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 24 = 36 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·2 = 36·2 = 72 kN·m

під P₂: M = R_B·4 = 24·4 = 96 kN·m

Найбільше значення

M_max = 96 kN·m (під P₂)

Відповідь

M_max = 96 kN·m

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 31,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·5 + 6·6·3

R_B = 333/6 = 55,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 81 − 55,5 = 25,5 kN

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 25,5·1,5 − 6·1,5·0,75 = 31,5 kN·m

Відповідь

M_x = 31,5 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −47,24 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·5 → C_y = 45,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 45,83 = 9,167 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −45,83/0,9701 = −47,24 kN

Відповідь

F_BC = −47,24 kN (стиск)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −27,04 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 + 25·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 15 = −5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Вузол C

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,5547 = −27,04 kN

Відповідь

F_BC = −27,04 kN (стиск)

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 3,052 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2500⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 3,052 mm

Відповідь

δ = 3,052 mm

8.Прогин балки

Відповідь: R_B = 18 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·4/8 = 18 kN

Відповідь

R_B = 18 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,052 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3,052 kN

Відповідь

P_cr = 3,052 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 81,71 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 81,71 mm

Відповідь

d = 81,71 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 293,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis