Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
w = 4 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?2 m1 m1 m

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 2 m і зосередженою силою P на відстані 3 m від стіни. Знайдіть вертикальну реакцію RA у стіні.

L = 4 mP = 25 kN у 3 mw = 4 kN/m від 0 до 2 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
P = 10 kN, 60°Q = 65 kNABRA​ = ?0,5 m4,5 m1 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 5 m від A під кутом 60° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 0,5 m від A. Знайдіть величину повної реакції RA у шарнірі A.

L = 6 mP = 10 kN у 5 m, θ = 60°Q = 65 kN у 0,5 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 6 kN/mABпереріз1 m4 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 6 kN/m від 0 до 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
20 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 12 m60 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB10 kN5 m2 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 10 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB55 kN5 kN4 m1 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 55 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN →
FBC = kN
7.Прогин балкиСередня
P = 5 kNABδ3 m2 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 3 m від опори A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 5 kNa = 3 mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 8 kNABδ3 m2 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 2 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δmax балки.

P = 8 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 2,5 m20 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 105 kNL = 2 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 105 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 105 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 33 kN

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 4·2 = 8 kN, x̄ = 1 m

Рівновага по вертикалі

RA = P + W = 25 + 8 = 33 kN

Відповідь

RA = 33 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 61,23 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

Pv = 10·sin 60° = 8,66 kN
Ph = 10·cos 60° = 5 kN

Реакції

ΣMA = 0: RB·6 = 8,66·5 + 65·0,5 → RB = 12,63 kN
Ay = 8,66 + 65 − 12,63 = 61,03 kN
Ax = Ph = 5 kN

Повна реакція в A

RA = √(5² + 61,03²) = 61,23 kN

Відповідь

RA = 61,23 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 12 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·5·2,5
RB = 75/5 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15переріз1 m4 m

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 15·1 − 6·1·0,5 = 12 kN·m

Відповідь

Mx = 12 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 32 kN, R2 = 48 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 64, MC = 128 kN·m, MD = 72, ME = 16, MF = −40, MG = 0

Відповідь

Позначка C: MC = 128 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −5 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·2 → Cy = 4 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 4 = 6 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −4/0,8 = −5 kN

Відповідь

FBC = −5 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −23,44 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB55 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·1 + 5·4 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 18,75 = 36,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18,75/0,8 = −23,44 kN

Відповідь

FBC = −23,44 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δP = 20,17 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 5000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa²b²/(3EIL) = 5000·3000²·2000²/(3·5,95 × 10¹¹·5000) = 20,17 mm

Відповідь

δP = 20,17 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 31,51 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 8000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

Максимальний прогин

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 31,51 mm

Відповідь

δmax = 31,51 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 21,48 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1750² = 21485 N = 21,48 kN

Відповідь

Pcr = 21,48 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 57,37 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·105000 = 262500 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 57,37 mm

Відповідь

d = 57,37 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 139,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis