Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
w = 4 kN/mP = 40 kNABMA​ = ?7 m1 m

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 7 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту MA у стіні.

L = 8 mP = 40 kN у 7 mw = 4 kN/m від 0 до 8 m
MA = kN·m
2.Опорні реакції балокСкладна
P = 75 kNQ = 70 kNADCRD​ = ?1 m3 m1 m5 m

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (4 m від A) і спирається на рухому опору в D (10 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 5 m від A і зосередженою силою Q на відстані 1 m від A. Знайдіть реакцію RD рухомої опори.

AC = 4 mAD = 10 mP = 75 kN у 5 mQ = 70 kN у 1 m
RD = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 6 kN/mP = 30 kNABпереріз1 m1 m

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 2 m від A. Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від защемлення A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 2 mP = 30 kN у 2 mw = 6 kN/m від 0 до 2 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 12 kN/mABC6 m1 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент Mmax між опорами.

L = 7 mw = 12 kN/m від 0 до 7 mопори в x = 0 і x = 6 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB45 kN4 m1 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 45 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB35 kN25 kN4 m3 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN ←
FBC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 8 kN/mδL = 2 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 20 kN/mP = 8 kNδL = 2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 8 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 2 m20 × 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 50 kNL = 1,5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 50 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 50 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: MA = 408 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 4·8 = 32 kN, x̄ = 4 m

Момент відносно стіни

MA = P·a + W·x̄ = 40·7 + 32·4 = 408 kN·m

Відповідь

MA = 408 kN·m
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RD = 12,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣMC = 0: RD·6 = 75·1
RD = 12,5 kN
VC = 75 − 12,5 = 62,5 kN

Відповідь

RD = 12,5 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = −33 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Залиште частину з вільним кінцем

P: −30·1 = −30 kN·m
w: −6·1²/2 = −3 kN·m
Mx = −30 − 3 = −33 kN·m

Відповідь

Mx = −33 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 51,04 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·7·3,5
RB = 294/6 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 49 = 35 kN

Нульова поперечна сила

RA − w·x0 = 0 → x0 = 35/12 = 2,917 m

Максимальний додатний момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 35²/(2·12) = 51,04 kN·m

Відповідь

Mmax = 51,04 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −14,06 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·1 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 11,25 = 33,75 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11,25/0,8 = −14,06 kN

Відповідь

FBC = −14,06 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −1,288 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB35 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 − 25·4 → Cy = 1,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 1,25 = 33,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −1,25/0,9701 = −1,288 kN

Відповідь

FBC = −1,288 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 9,091 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 9,091 mm

Відповідь

δ = 9,091 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 15,21 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 8000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 8000·2500³/(48·8,4 × 10¹¹) = 3,1 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 12,11 mm

Додайте

δmax = 3,1 + 12,11 = 15,21 mm

Відповідь

δmax = 15,21 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 9,212 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2000² = 9212 N = 9,212 kN

Відповідь

Pcr = 9,212 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 39,04 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2·50000 = 100000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 39,04 mm

Відповідь

d = 39,04 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 153,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis