Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 45 kNP2​ = 55 kNABRA​ = ?RB​1,5 m1 m1,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 4 mP1 = 45 kN у 1,5 mP2 = 55 kN у 2,5 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 3 kN/mP = 10 kNABRA​RB​ = ?7 m1 m1 m1 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 10 mP = 10 kN у 9 mw = 3 kN/m від 7 до 8 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 3 kN/mABпереріз0,5 m3,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 3 kN/m від 0 до 4 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
45 kN60 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 0 m60 kN @ 6 m30 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB55 kN4 m3 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB20 kN30 kN4 m1 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 20 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →
FAC = kN
7.Прогин балкиСередня
P = 17 kNABδ1 m1 m

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від A. Знайдіть прогин δB вільного кінця B.

P = 17 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 12 kN/mAB8 m

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію RB додаткової опори.

L = 8 mw = 12 kN/m
RB = kN
9.Стійкість колонСередня
PL = 3 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 4 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 48,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 45 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​1,5 m1 m1,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·4 = 45·1,5 + 55·2,5
RB = 205/4 = 51,25 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 51,25 = 48,75 kN

Відповідь

RA = 48,75 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 11,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 3 kN/mP = 10 kNABRA​RB​7 m1 m1 m1 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, прикладена в x̄ = 7,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·9 + 3·1·7,5
RB = 112,5/10 = 11,25 kN
ΣFy = 0: RA = 13 − 11,25 = 1,75 kN

Відповідь

RB = 11,25 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 2,625 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 3·4·2
RB = 24/4 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 6RB​ = 6переріз0,5 m3,5 m

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 6·0,5 − 3·0,5·0,25 = 2,625 kN·m

Відповідь

Mx = 2,625 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 40 kN, R2 = 95 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = −45, MC = −50, MD = −85, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0

Відповідь

Позначка E: ME = −120 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −24,79 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·3 → Cy = 41,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 41,25 = 13,75 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13,75/0,5547 = −24,79 kN

Відповідь

FAB = −24,79 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 27,5 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB20 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 + 30·3 → Cy = 27,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 27,5 = −7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −27,5/0,7071 = −38,89 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−38,89)·0,7071 = 27,5 kN

Відповідь

FAC = 27,5 kN (розтяг)
7.Прогин балки

Відповідь: δB = 22,59 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 17000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δP = Pa³/(3EI) = 9,038 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01356 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 22,59 mm

Відповідь

δB = 22,59 mm
8.Прогин балки

Відповідь: RB = 36 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δload = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·8/8 = 36 kN

Відповідь

RB = 36 kN
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 67,29 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67,29 kN

Відповідь

Pcr = 67,29 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 1,687 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/12,5 = 640

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/640² = 1,687 MPa

Відповідь

σcr = 1,687 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis