Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 35 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​ = ?2 m0,5 m1,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 4 mP1 = 35 kN у 2 mP2 = 40 kN у 2,5 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
P = 40 kN, 60°Q = 25 kNABRA​ = ?2 m2 m4 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 4 m від A під кутом 60° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 2 m від A. Знайдіть величину повної реакції RA у шарнірі A.

L = 8 mP = 40 kN у 4 m, θ = 60°Q = 25 kN у 2 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
M0​ = 10 kN·mAB2 m2 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 10 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 2 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mM0 = 10 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 2 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 10 kN/mP = 15 kNAB5 m3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 8 mP = 15 kN у 5 mw = 10 kN/m від 0 до 8 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB25 kN4 m1 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB45 kN30 kN6 m2 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 45 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →
FAC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 20 kN/mP = 14 kNABδ2 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 14 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 6 kNP = 6 kNABδ1,667 m1,666 m1,667 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома однаковими зосередженими силами P у третинах прольоту (L/3 від кожної опори). За принципом накладання знайдіть прогин δmax посередині прольоту.

P = 6 kNL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 5 m40 × 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 5 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 42,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 35 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​2 m0,5 m1,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·4 = 35·2 + 40·2,5
RB = 170/4 = 42,5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 42,5 = 32,5 kN

Відповідь

RB = 42,5 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 41,24 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

Pv = 40·sin 60° = 34,64 kN
Ph = 40·cos 60° = 20 kN

Реакції

ΣMA = 0: RB·8 = 34,64·4 + 25·2 → RB = 23,57 kN
Ay = 34,64 + 25 − 23,57 = 36,07 kN
Ax = Ph = 20 kN

Повна реакція в A

RA = √(20² + 36,07²) = 41,24 kN

Відповідь

RA = 41,24 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = −5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 10/4 = 2,5 kN (вгору)
RA = −RB = −2,5 kN (вниз)

Переріз безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту

Ліва частина містить лише RA.

Mx = RA·a = −2,5·2 = −5 kN·m

Відповідь

Mx = −5 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 104,1 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·5 + 10·8·4
RB = 395/8 = 49,38 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 49,38 = 45,63 kN

Де V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 45,63/10 = 4,563 m

Максимальний момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 45,63·4,563 − 10·4,563²/2 = 104,1 kN·m

Відповідь

Mmax = 104,1 kN·m

Це в точці x = 4,563 m від A.

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −11,27 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 → Cy = 6,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6,25 = 18,75 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6,25/0,5547 = −11,27 kN

Відповідь

FBC = −11,27 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 50 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB45 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·2 + 30·2 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 25 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −25/0,4472 = −55,9 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−55,9)·0,8944 = 50 kN

Відповідь

FAC = 50 kN (розтяг)
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 13,15 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 14000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(3EI) = 14000·2000³/(3·5,88 × 10¹²) = 6,349 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 6,803 mm

Додайте

δ = 6,349 + 6,803 = 13,15 mm

Відповідь

δ = 13,15 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 16,53 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 6000 N, L = 5000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Одна сила в точці L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm
δ₁ = 8,267 mm

Додайте обидві сили

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 16,53 mm

Відповідь

δmax = 16,53 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 134,8 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2500² = 134753 N = 134,8 kN

Відповідь

Pcr = 134,8 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 11,05 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/20 = 250

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Відповідь

σcr = 11,05 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis