Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 35 kNP2​ = 45 kNABRA​ = ?RB​2 m3 m1 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 6 mP1 = 35 kN у 2 mP2 = 45 kN у 5 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 10 kN/mP = 45 kNABCRA​ = ?1,5 m0,5 m1 m2 m

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 3 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 2 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 1,5 m до вільного кінця в 5 m. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 3 mAC = 5 mP = 45 kN у 2 mw = 10 kN/m від 1,5 до 5 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 10 kN/mABпереріз2 m3 m

Знайдіть поперечну силу Vx у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 10 kN/m від 0 до 5 mx = 2 m
Vx = kN
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
6 kN/m45 kN20 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

45 kN @ 0 m20 kN @ 12 m45 kN @ 6 m6 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB10 kN4 m3 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 10 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB35 kN30 kN5 m1 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →
FAB = kN
7.Прогин балкиСередня
P = 21 kNABδ5 m3 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 5 m від опори A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 21 kNa = 5 mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 10 kN/mP = 10 kNδL = 4 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 10 kNw = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 5 md = 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 55 kNL = 4 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 55 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 55 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 30,83 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 35 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​2 m3 m1 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·2 + 45·5
RB = 295/6 = 49,17 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 49,17 = 30,83 kN

Відповідь

RA = 30,83 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 12,08 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 10·3,5 = 35 kN, x̄ = (1,5 + 5)/2 = 3,25 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·3 = 45·2 + 35·3,25
RB = 203,8/3 = 67,92 kN
RA = 80 − 67,92 = 12,08 kN

Відповідь

RA = 12,08 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Vx = 5 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·5·2,5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 25RB​ = 25переріз2 m3 m

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = RA − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)
Vx = 25 − 10·2 = 5 kN

Відповідь

Vx = 5 kN
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 97,75 kN, R2 = 60,25 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = −90 kN·m, MC = 3,5, MD = 73, ME = 28,5, MF = −40, MG = 0

Відповідь

Позначка B: MB = −90 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −8,385 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·3 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 7,5 = 2,5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7,5/0,8944 = −8,385 kN

Відповідь

FBC = −8,385 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −4,123 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB35 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·1 + 30·4 → Cy = 31 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 31 = 4 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −4/0,9701 = −4,123 kN

Відповідь

FAB = −4,123 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δP = 17,58 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 21000 N, a = 5000 mm, b = 3000 mm, L = 8000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa²b²/(3EIL) = 21000·5000²·3000²/(3·1,12 × 10¹³·8000) = 17,58 mm

Відповідь

δP = 17,58 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 19,44 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 10000 N, w = 10 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 10000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 5,556 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 13,89 mm

Додайте

δmax = 5,556 + 13,89 = 19,44 mm

Відповідь

δmax = 19,44 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 102,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3500² = 102511 N = 102,5 kN

Відповідь

Pcr = 102,5 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 97,62 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·55000 = 137500 N
KL = 2·4000 = 8000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 97,62 mm

Відповідь

d = 97,62 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 327,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis