Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 20 kNP2​ = 60 kNABRA​ = ?RB​4 m3 m3 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 10 mP1 = 20 kN у 4 mP2 = 60 kN у 7 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 5 kN/mP = 20 kNABRA​RB​ = ?1 m3 m3 m3 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 10 mP = 20 kN у 7 mw = 5 kN/m від 1 до 4 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 45 kNP2​ = 55 kNAB2 m3 m5 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 10 mP1 = 45 kN у 2 mP2 = 55 kN у 5 m
Mmax = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 3 kN/mP = 20 kNABпереріз0,5 m1,5 m3 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 20 kN у 2 mw = 3 kN/m від 0 до 5 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB55 kN5 m4 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB30 kN5 kN5 m2 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 3 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 30 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN ←
FAC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 8 kN/mδL = 2 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 15 kN/mP = 7 kNδL = 8 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 7 kNw = 15 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 2 m50 × 100 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 3 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 30 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 20 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​4 m3 m3 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·10 = 20·4 + 60·7
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 50 = 30 kN

Відповідь

RA = 30 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 17,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 5 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1 m3 m3 m3 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·7 + 5·3·2,5
RB = 177,5/10 = 17,75 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 17,75 = 17,25 kN

Відповідь

RB = 17,75 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 182,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·10 = 45·2 + 55·5
RB = 365/10 = 36,5 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 36,5 = 63,5 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·2 = 63,5·2 = 127 kN·m
під P2: M = RB·5 = 36,5·5 = 182,5 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 182,5 kN·m (під P2)

Відповідь

Mmax = 182,5 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 9,375 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·2 + 3·5·2,5
RB = 77,5/5 = 15,5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 15,5 = 19,5 kN
w = 3 kN/mP = 20 kNABRA​ = 19,5RB​ = 15,5переріз0,5 m1,5 m3 m

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 19,5·0,5 − 3·0,5·0,25 = 9,375 kN·m

Відповідь

Mx = 9,375 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −49,19 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·4 → Cy = 44 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 44 = 11 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −44/0,8944 = −49,19 kN

Відповідь

FBC = −49,19 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 9 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB30 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·2 − 5·3 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 9 = 21 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9/0,7071 = −12,73 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−12,73)·0,7071 = 9 kN

Відповідь

FAC = 9 kN (розтяг)
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 9,091 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 9,091 mm

Відповідь

δ = 9,091 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 78,1 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 7000 N, w = 15 N/mm, L = 8000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 7000·8000³/(48·1,12 × 10¹³) = 6,667 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·8000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 71,43 mm

Додайте

δmax = 6,667 + 71,43 = 78,1 mm

Відповідь

δmax = 78,1 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 1049 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/1400² = 1,049 × 10⁶ N = 1049 kN

Відповідь

Pcr = 1049 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 25,18 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/7,5 = 280

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Відповідь

σcr = 25,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis