Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
w = 2 kN/mP = 35 kNABMA​ = ?10 m

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 10 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту MA у стіні.

L = 10 mP = 35 kN у 10 mw = 2 kN/m від 0 до 10 m
MA = kN·m
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 4 kN/mP = 50 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 8 mP = 50 kN у 2 mw = 4 kN/m від 2 до 3 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 6 kN/mABпереріз9 m1 m

Знайдіть поперечну силу Vx у перерізі x = 9 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 6 kN/m від 0 до 10 mx = 9 m
Vx = kN
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 3 kN/mP = 60 kNABпереріз1,5 m4,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 60 kN у 1,5 mw = 3 kN/m від 0 до 6 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB25 kN8 m2 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB60 kN10 kN4 m3 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 60 kNгоризонтальне навантаження = 10 kN ←
FAB = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 10 kN/mδL = 3 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 11 kNABδ7 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1 m від опори B. Знайдіть прогин δmid посередині прольоту.

P = 11 kNb = 1 mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 2 md = 25 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 60 kNL = 5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 60 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 60 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: MA = 450 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 2·10 = 20 kN, x̄ = 5 m

Момент відносно стіни

MA = P·a + W·x̄ = 35·10 + 20·5 = 450 kN·m

Відповідь

MA = 450 kN·m
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 13,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 4 kN/mP = 50 kNABRA​RB​2 m1 m5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·2 + 4·1·2,5
RB = 110/8 = 13,75 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 13,75 = 40,25 kN

Відповідь

RB = 13,75 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Vx = −24 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30переріз9 m1 m

Розріжте в x = 9 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = RA − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)
Vx = 30 − 6·9 = −24 kN

Відповідь

Vx = −24 kN
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 77,63 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·1,5 + 3·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 24 = 54 kN
w = 3 kN/mP = 60 kNABRA​ = 54RB​ = 24переріз1,5 m4,5 m

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 54·1,5 − 3·1,5·0,75 = 77,63 kN·m

Відповідь

Mx = 77,63 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −26,52 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·2 → Cy = 6,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6,25 = 18,75 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18,75/0,7071 = −26,52 kN

Відповідь

FAB = −26,52 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −36,06 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB60 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 60·3 − 10·2 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 40 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0,5547 = −36,06 kN

Відповідь

FAB = −36,06 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 17,22 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 17,22 mm

Відповідь

δ = 17,22 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmid = 25,34 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 11000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогин посередині прольоту

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 11000·1000·(3·8000² − 4·1000²)/(48·1,7 × 10¹²) = 25,34 mm

Відповідь

δmid = 25,34 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 9,462 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Відповідь

Pcr = 9,462 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 58,37 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 3·60000 = 180000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 58,37 mm

Відповідь

d = 58,37 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 171,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis