Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 15 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​ = ?2 m3 m3 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 8 mP1 = 15 kN у 2 mP2 = 55 kN у 5 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
P = 35 kN, 40°Q = 60 kNABα = ?4 m4 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 8 m від A під кутом 40° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 4 m від A. Знайдіть кут α між повною реакцією в шарнірі A і горизонталлю.

L = 10 mP = 35 kN у 8 m, θ = 40°Q = 60 kN у 4 m
α = °
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
10 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

10 kN @ 4 m20 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 8 kN/mABC6 m1,5 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть відстань xc від A до точки перегину між опорами (де згинальний момент змінює знак).

L = 7,5 mw = 8 kN/m від 0 до 7,5 mопори в x = 0 і x = 6 m
xc = m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB50 kN5 m2 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 50 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB10 kN15 kN8 m7 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 7 m від Aвертикальне навантаження = 10 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN ←
FAB = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 12 kN/mP = 6 kNABδ3 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 6 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 1 kN/mABδ4,5 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 50 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 50 mm
hreq = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 3 m30 × 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 130 kNL = 4 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 130 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 130 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 38,13 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 15 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​2 m3 m3 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·8 = 15·2 + 55·5
RB = 305/8 = 38,13 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 38,13 = 31,88 kN

Відповідь

RB = 38,13 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: α = 56,49 °

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

Pv = 35·sin 40° = 22,5 kN
Ph = 35·cos 40° = 26,81 kN

Реакції

ΣMA = 0: RB·10 = 22,5·8 + 60·4 → RB = 42 kN
Ay = 22,5 + 60 − 42 = 40,5 kN
Ax = Ph = 26,81 kN

Напрямок у A

α = atan(Ay/Ax) = atan(40,5/26,81) = 56,49°

Відповідь

α = 56,49°
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 16,67 kN, R2 = 13,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 33,33, MC = 66,67, MD = 80 kN·m, ME = 53,33, MF = 26,67, MG = 0

Відповідь

Позначка D: MD = 80 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: xc = 5,625 m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·7,5 = 60 kN, прикладена в x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·7,5·3,75
RB = 225/6 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 37,5 = 22,5 kN

Нульовий момент

Між опорами M(x) = RA·x − w·x²/2. Крім x = 0, він дорівнює нулю в x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·22,5/8 = 5,625 m

Відповідь

xc = 5,625 m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 30 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·2 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 20 = 30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20/0,5547 = −36,06 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−36,06)·0,8321 = 30 kN

Відповідь

FAC = 30 kN (розтяг)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −17,45 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB10 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·7 − 15·3 → Cy = 3,125 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 3,125 = 6,875 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/7,616 = 0,3939
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6,875/0,3939 = −17,45 kN

Відповідь

FAB = −17,45 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 29,85 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 6000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(3EI) = 6000·3000³/(3·5,88 × 10¹²) = 9,184 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 20,66 mm

Додайте

δ = 9,184 + 20,66 = 29,85 mm

Відповідь

δ = 29,85 mm
8.Прогин балки

Відповідь: hreq = 198 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·15) = 3,236 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·3,236 × 10⁷/50)1/3 = 198 mm

Відповідь

hreq = 198 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 39,48 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/3000² = 39478 N = 39,48 kN

Відповідь

Pcr = 39,48 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 105,2 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2·130000 = 260000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 105,2 mm

Відповідь

d = 105,2 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 152, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis