Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
w = 2 kN/mP = 25 kNABMA​ = ?4 m2 m

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 4 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту MA у стіні.

L = 6 mP = 25 kN у 4 mw = 2 kN/m від 0 до 6 m
MA = kN·m
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?RB​2 m3 m1 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 8 mP = 60 kN у 5 mw = 10 kN/m від 2 до 6 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 3 kN/mABпереріз1,5 m4,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 3 kN/m від 0 до 6 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 4 kN/mP = 50 kNABпереріз2 m6 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 50 kN у 2 mw = 4 kN/m від 0 до 8 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB30 kN8 m1 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 30 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB35 kN15 kN4 m3 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN →
FAB = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 8 kN/mABθ8 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θA перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Прогин балкиСкладна
w = 8 kN/mδL = 1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колонСередня
PL = 1,5 md = 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 2 md = 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: MA = 136 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 2·6 = 12 kN, x̄ = 3 m

Момент відносно стіни

MA = P·a + W·x̄ = 25·4 + 12·3 = 136 kN·m

Відповідь

MA = 136 kN·m
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 42,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​RB​2 m3 m1 m2 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·5 + 10·4·4
RB = 460/8 = 57,5 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 57,5 = 42,5 kN

Відповідь

RA = 42,5 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 10,13 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 9RB​ = 9переріз1,5 m4,5 m

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 9·1,5 − 3·1,5·0,75 = 10,13 kN·m

Відповідь

Mx = 10,13 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 99 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·2 + 4·8·4
RB = 228/8 = 28,5 kN
ΣFy = 0: RA = 82 − 28,5 = 53,5 kN
w = 4 kN/mP = 50 kNABRA​ = 53,5RB​ = 28,5переріз2 m6 m

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 53,5·2 − 4·2·1 = 99 kN·m

Відповідь

Mx = 99 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −13,65 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·1 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 3,75 = 26,25 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/7,28 = 0,2747, cos γ = 7/7,28 = 0,9615
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,75/0,2747 = −13,65 kN

Відповідь

FBC = −13,65 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = 3,536 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB35 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 + 15·3 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 37,5 = −2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−2,5/0,7071 = 3,536 kN

Відповідь

FAB = 3,536 kN (розтяг)
7.Прогин балки

Відповідь: θA = 0,01016 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 8000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Кут повороту на кінці

θA = wL³/(24EI) = 8·8000³/(24·1,68 × 10¹³) = 0,01016 rad

Відповідь

θA = 0,01016 rad

Це 0,5821°.

8.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·1500⁴/(384·11000·4,167) = 1,151 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 11,51 × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 558,1 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1500² = 558113 N = 558,1 kN

Відповідь

Pcr = 558,1 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 38,86 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133,3

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Відповідь

σcr = 38,86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis