Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mP₁ = 10 kN у 1,5 mP₂ = 15 kN у 2 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює 8 kN/m біля стіни й спадає до нуля на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 6 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 8 mw₀ = 8 kN/mP = 80 kN у 6 m

M_A = kN·m

3.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 4 mP₁ = 40 kN у 1 mP₂ = 70 kN у 2 m

M_max = kN·m

4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 7,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 25 kN у 6 mw = 3 kN/m від 0 до 8 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓D: 40 kN ↓F: 20 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 6 m від Aвертикальне навантаження = 55 kNгоризонтальне навантаження = 10 kN ←

F_AC = kN

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 4 mw = 15 kN/m

M_A = kN·m

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 80 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 80 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 13,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1,5 + 15·2

R_B = 45/4 = 11,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 11,25 = 13,75 kN

Відповідь

R_A = 13,75 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 565,3 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·8·8 = 32 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 32·2,667 + 80·6 = 565,3 kN·m

Відповідь

M_A = 565,3 kN·m

3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 90 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1 + 70·2

R_B = 180/4 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 45 = 65 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·1 = 65·1 = 65 kN·m

під P₂: M = R_B·2 = 45·2 = 90 kN·m

Найбільше значення

M_max = 90 kN·m (під P₂)

Відповідь

M_max = 90 kN·m

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 15 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·6 + 3·8·4

R_B = 246/8 = 30,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 30,75 = 18,25 kN

Розріжте в x = 7,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 18,25·7,5 − 25·(7,5 − 6) − 3·7,5·3,75 = 15 kN·m

Відповідь

M_x = 15 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 58,13 kN (T), BC: 75 kN (T), CD: 75 kN (T), DE: 61,87 kN (T), FG: 58,12 kN (C), GH: 61,87 kN (C), AF: 96,88 kN (C), HE: 103,1 kN (C), BF: 57,5 kN (T), CG: 0, DH: 57,5 kN (T), BG: 28,13 kN (C), DG: 21,88 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 38,75 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·6 − 10·2 → C_y = 38,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 38,75 = 16,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −38,75/0,7071 = −54,8 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−54,8)·0,7071 = 38,75 kN

Відповідь

F_AC = 38,75 kN (розтяг)

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 57,14 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 57,14 mm

Відповідь

δ = 57,14 mm

8.Прогин балки

Відповідь: M_A = 30 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22,5 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 120 − 90 = 30 kN·m

Відповідь

M_A = 30 kN·m

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 7,91 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1400² = 7910 N = 7,91 kN

Відповідь

P_cr = 7,91 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 74,22 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 74,22 mm

Відповідь

d = 74,22 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 188,6, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis