Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 60 kNP2​ = 25 kNABRA​ = ?RB​1,5 m3 m1,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 6 mP1 = 60 kN у 1,5 mP2 = 25 kN у 4,5 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 12 kN/mP = 60 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m2 m3 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 8 mP = 60 kN у 5 mw = 12 kN/m від 2 до 3 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNAB1,5 m1 m2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 5 mP1 = 55 kN у 1,5 mP2 = 40 kN у 2,5 m
Mmax = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 2 kN/mP = 60 kNABпереріз2 m1 m1 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 60 kN у 3 mw = 2 kN/m від 0 до 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB25 kN6 m5 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB35 kN20 kN5 m4 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 3 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN ←
FAC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 4 kN/mABθ2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θA перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Прогин балкиСкладна
w = 4 kN/mδL = 1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колонСередня
PL = 1,5 m20 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 2,5 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 51,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 60 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​1,5 m3 m1,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·1,5 + 25·4,5
RB = 202,5/6 = 33,75 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 33,75 = 51,25 kN

Відповідь

RA = 51,25 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 41,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 12 kN/mP = 60 kNABRA​RB​2 m1 m2 m3 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·5 + 12·1·2,5
RB = 330/8 = 41,25 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 41,25 = 30,75 kN

Відповідь

RB = 41,25 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 91,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣMA = 0: RB·5 = 55·1,5 + 40·2,5
RB = 182,5/5 = 36,5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 36,5 = 58,5 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P1: M = RA·1,5 = 58,5·1,5 = 87,75 kN·m
під P2: M = RB·2,5 = 36,5·2,5 = 91,25 kN·m

Найбільше значення

Mmax = 91,25 kN·m (під P2)

Відповідь

Mmax = 91,25 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 34 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·3 + 2·4·2
RB = 196/4 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 49 = 19 kN
w = 2 kN/mP = 60 kNABRA​ = 19RB​ = 49переріз2 m1 m1 m

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 19·2 − 2·2·1 = 34 kN·m

Відповідь

Mx = 34 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 6,944 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·5 → Cy = 20,83 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 20,83 = 4,167 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20,83/0,9487 = −21,96 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−21,96)·0,3162 = 6,944 kN

Відповідь

FAC = 6,944 kN (розтяг)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 5,333 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB35 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·4 − 20·3 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 16 = 19 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −16/0,9487 = −16,87 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−16,87)·0,3162 = 5,333 kN

Відповідь

FAC = 5,333 kN (розтяг)
7.Прогин балки

Відповідь: θA = 0,0031 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Кут повороту на кінці

θA = wL³/(24EI) = 4·2500³/(24·8,4 × 10¹¹) = 0,0031 rad

Відповідь

θA = 0,0031 rad

Це 0,1776°.

8.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 5,753 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·1500⁴/(384·11000·4,167) = 5,753 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 5,753 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 5,753 × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 7,311 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/3000² = 7311 N = 7,311 kN

Відповідь

Pcr = 7,311 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 17,27 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Відповідь

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis