Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 50 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?5 m1 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 8 mP1 = 50 kN у 5 mP2 = 50 kN у 6 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 5 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?3 m2 m2 m3 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 10 mP = 30 kN у 5 mw = 5 kN/m від 3 до 7 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 10 kNP2​ = 20 kNABC1 m7 m1 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P1 між опорами і зосередженою силою P2 у C. Знайдіть згинальний момент MB на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9 mP1 = 10 kN у 1 mP2 = 20 kN у 9 mопори в x = 0 і x = 8 m
MB = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 10 kN/mP = 20 kNABпереріз0,5 m1 m4,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 20 kN у 1,5 mw = 10 kN/m від 0 до 6 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB25 kN5 m1 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB30 kN15 kN6 m5 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 30 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN →
FAC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 15 kN/mδL = 5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 16 kNP = 16 kNABδ1,333 m1,334 m1,333 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома однаковими зосередженими силами P у третинах прольоту (L/3 від кожної опори). За принципом накладання знайдіть прогин δmax посередині прольоту.

P = 16 kNL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 3 m20 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 50 kNL = 4 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 50 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 50 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 68,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 50 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​5 m1 m2 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·5 + 50·6
RB = 550/8 = 68,75 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 68,75 = 31,25 kN

Відповідь

RB = 68,75 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 5 kN/mP = 30 kNABRA​RB​3 m2 m2 m3 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·5 + 5·4·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN

Відповідь

RB = 25 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: MB = −20 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣMA = 0: RB·8 = 10·1 + 20·9
RB = 190/8 = 23,75 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 23,75 = 6,25 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

На консоль діє лише P2 із плечем a. Вона згинає балку над опорою опуклістю догори (від’ємний момент).

MB = −P2·a = −20·1 = −20 kN·m

Відповідь

MB = −20 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 21,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·1,5 + 10·6·3
RB = 210/6 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 35 = 45 kN
w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​ = 45RB​ = 35переріз0,5 m1 m4,5 m

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 45·0,5 − 10·0,5·0,25 = 21,25 kN·m

Відповідь

Mx = 21,25 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 6,667 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 5 = 20 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0,6 = −8,333 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−8,333)·0,8 = 6,667 kN

Відповідь

FAC = 6,667 kN (розтяг)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 8,75 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB30 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·5 + 15·4 → Cy = 35 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 35 = −5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −35/0,9701 = −36,08 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−36,08)·0,2425 = 8,75 kN

Відповідь

FAC = 8,75 kN (розтяг)
7.Прогин балки

Відповідь: δmax = 20,76 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 20,76 mm

Відповідь

δmax = 20,76 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 61,09 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 16000 N, L = 4000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Одна сила в точці L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 30,54 mm

Додайте обидві сили

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 61,09 mm

Відповідь

δmax = 61,09 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 29,24 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1500² = 29243 N = 29,24 kN

Відповідь

Pcr = 29,24 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 67,4 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 67,4 mm

Відповідь

d = 67,4 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 237,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis