Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що спадає від 10 kN/m в A до нуля в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 10 mw₀ = 10 kN/m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (2 m від A) і спирається на рухому опору в D (6 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 2 mAD = 6 mP = 20 kN у 4 m

M_A = kN·m

3.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

60 kN @ 4 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

50 kN @ 12 m15 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 20 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 15 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →

F_AB = kN

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 16 kNw = 20 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 40 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 40 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 33,33 kN

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·10·10 = 50 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·3,333

R_B = 16,67 kN

R_A = 50 − 16,67 = 33,33 kN

Відповідь

R_A = 33,33 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 20 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 20·2

R_D = 10 kN

V_C = 20 − 10 = 10 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 10 = 10 kN

M_A = 10·2 = 20 kN·m

Відповідь

M_A = 20 kN·m

3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 76 kN, R₂ = 56 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 140, M_C = 256 kN·m, M_D = 228, M_E = 176, M_F = 100, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 256 kN·m

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 35 kN, R₂ = 135 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 20, M_D = −60, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −200 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 4,167 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 → C_y = 3,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 3,333 = 16,67 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,333/0,6247 = −5,336 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−5,336)·0,7809 = 4,167 kN

Відповідь

F_AC = 4,167 kN (розтяг)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = 17,34 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·5 + 20·4 → C_y = 25,83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 25,83 = −10,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−10,83/0,6247 = 17,34 kN

Відповідь

F_AB = 17,34 kN (розтяг)

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 1,825 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 16000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(3EI) = 16000·1500³/(3·1,68 × 10¹³) = 1,071 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 0,7533 mm

Додайте

δ = 1,071 + 0,7533 = 1,825 mm

Відповідь

δ = 1,825 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 639,2 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·5000⁴/(384·11000·13,89) = 6,392 × 10⁸ mm⁴

I_req = 639,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 639,2 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 22,66 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/2800² = 22660 N = 22,66 kN

Відповідь

P_cr = 22,66 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 44,44 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 44,44 mm

Відповідь

d = 44,44 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 94,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis