Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 40 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m3 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 6 mP1 = 40 kN у 2 mP2 = 50 kN у 3 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 8 kN/mP = 55 kNQ = 45 kNADCMA​ = ?2 m1 m6 m1 m

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3 m від A) і спирається на рухому опору в D (10 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 9 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD і зосередженою силою Q на відстані 2 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту MA у стіні.

AC = 3 mAD = 10 mP = 55 kN у 9 mw = 8 kN/m від 3 до 10 mQ = 45 kN у 2 m
MA = kN·m
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 50 kNP2​ = 15 kNABC5 m3 m1,5 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P1 між опорами і зосередженою силою P2 у C. Знайдіть поперечну силу Vx безпосередньо ліворуч від опори B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9,5 mP1 = 50 kN у 5 mP2 = 15 kN у 9,5 mопори в x = 0 і x = 8 m
Vx = kN
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 12 kN/mP = 25 kNABпереріз1 m1,5 m1,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 25 kN у 2,5 mw = 12 kN/m від 0 до 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB55 kN6 m2 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABCDEFGH15 kN10 kN35 kN40 kN4 × 3 m3 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

D: 15 kN ↓G: 10 kN ↓H: 35 kN ↓H: 40 kN ←
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент FC
  13. 13елемент HC
7.Прогин балкиСередня
w = 8 kN/mδL = 3 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 25 kNAB2 m2 m

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту MA у защемленні.

L = 4 mP = 25 kN у 2 m
MA = kN·m
9.Стійкість колонСередня
PL = 5 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 75 kNL = 1,5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 75 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 75 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 38,33 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 40 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​2 m1 m3 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 40·2 + 50·3
RB = 230/6 = 38,33 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 38,33 = 51,67 kN

Відповідь

RB = 38,33 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: MA = 197,6 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 8·7 = 56 kN у 3,5 m від C
ΣMC = 0: RD·7 = 55·6 + 56·3,5
RD = 75,14 kN
VC = 111 − 75,14 = 35,86 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі VC діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

RA = 45 + 35,86 = 80,86 kN
MA = 45·2 + 35,86·3 = 197,6 kN·m

Відповідь

MA = 197,6 kN·m
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Vx = −34,06 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·5 + 15·9,5
RB = 392,5/8 = 49,06 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 49,06 = 15,94 kN

Переріз безпосередньо ліворуч від B, залишаємо ліву частину

Vx = RA − P1 = 15,94 − 50 = −34,06 kN

Відповідь

Vx = −34,06 kN
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 27,38 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·2,5 + 12·4·2
RB = 158,5/4 = 39,63 kN
ΣFy = 0: RA = 73 − 39,63 = 33,38 kN
w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​ = 33,38RB​ = 39,63переріз1 m1,5 m1,5 m

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 33,38·1 − 12·1·0,5 = 27,38 kN·m

Відповідь

Mx = 27,38 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −44,07 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 55·2 → Cy = 18,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 18,33 = 36,67 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −36,67/0,8321 = −44,07 kN

Відповідь

FAB = −44,07 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 12,5 kN (C), BC: 12,5 kN (C), CD: 32,5 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 45,96 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 38,89 kN (T), HC: 24,75 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: BF
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 46,02 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 46,02 mm

Відповідь

δ = 46,02 mm
8.Прогин балки

Відповідь: MA = 18,75 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·25/16 = 7,813 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

MA = P·L/2 − RB·L = 50 − 31,25 = 18,75 kN·m

Відповідь

MA = 18,75 kN·m
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 4,395 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2500² = 4395 N = 4,395 kN

Відповідь

Pcr = 4,395 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 56,17 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 56,17 mm

Відповідь

d = 56,17 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 106,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis