Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 30 kNP2​ = 35 kNABRA​ = ?RB​3 m2 m3 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 8 mP1 = 30 kN у 3 mP2 = 35 kN у 5 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 8 kN/mP = 35 kNABCRA​ = ?1,5 m0,5 m0,5 m1,5 m

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 2,5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 1,5 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 2 m до вільного кінця в 4 m. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 2,5 mAC = 4 mP = 35 kN у 1,5 mw = 8 kN/m від 2 до 4 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 40 kNP2​ = 80 kNABC1,5 m4,5 m1 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P1 між опорами і зосередженою силою P2 у C. Знайдіть згинальний момент Mx під силою P1. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 7 mP1 = 40 kN у 1,5 mP2 = 80 kN у 7 mопори в x = 0 і x = 6 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 5 kN/mABC5 m2,5 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 2,5 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть відстань xc від A до точки перегину між опорами (де згинальний момент змінює знак).

L = 7,5 mw = 5 kN/m від 0 до 7,5 mопори в x = 0 і x = 5 m
xc = m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABCDEFGH40 kN15 kN15 kN4 × 4 m3 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 40 kN ↓C: 15 kN ↓G: 15 kN ↓
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент FC
  13. 13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABCDEFGH10 kN15 kN30 kN15 kN10 kN4 × 4 m4 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 10 kN ↓C: 15 kN ↓D: 30 kN ↓H: 15 kN ↓H: 10 kN ←
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент FC
  13. 13елемент HC
7.Прогин балкиСередня
P = 16 kNABδ3 m3 m

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 3 m від A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 16 kNa = 3 mL = 6 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 5 kN/mδL = 8 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колонСередня
PL = 5 md = 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 150 kNL = 1,5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 150 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 150 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 31,88 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 30 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​3 m2 m3 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·8 = 30·3 + 35·5
RB = 265/8 = 33,13 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 33,13 = 31,88 kN

Відповідь

RA = 31,88 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 10,8 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 8·2 = 16 kN, x̄ = (2 + 4)/2 = 3 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·2,5 = 35·1,5 + 16·3
RB = 100,5/2,5 = 40,2 kN
RA = 51 − 40,2 = 10,8 kN

Відповідь

RA = 10,8 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣMA = 0: RB·6 = 40·1,5 + 80·7
RB = 620/6 = 103,3 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 103,3 = 16,67 kN

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Mx = RA·1,5 = 16,67·1,5 = 25 kN·m

Відповідь

Mx = 25 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: xc = 3,75 m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·7,5 = 37,5 kN, прикладена в x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·7,5·3,75
RB = 140,6/5 = 28,13 kN
ΣFy = 0: RA = 37,5 − 28,13 = 9,375 kN

Нульовий момент

Між опорами M(x) = RA·x − w·x²/2. Крім x = 0, він дорівнює нулю в x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·9,375/5 = 3,75 m

Відповідь

xc = 3,75 m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 60 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 33,33 kN (T), DE: 33,33 kN (T), FG: 66,67 kN (C), GH: 66,67 kN (C), AF: 75 kN (C), HE: 41,67 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 8,333 kN (T), HC: 41,67 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 18,75 kN (T), BC: 18,75 kN (T), CD: 41,25 kN (T), DE: 41,25 kN (T), FG: 47,5 kN (C), GH: 47,5 kN (C), AF: 40,66 kN (C), HE: 58,34 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 26,52 kN (T), HC: 5,303 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG
7.Прогин балки

Відповідь: δP = 36,09 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 16000 N, a = 3000 mm, L = 6000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa³/(3EI) = 16000·3000³/(3·3,99 × 10¹²) = 36,09 mm

Відповідь

δP = 36,09 mm
8.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 60 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·8000⁴/(384·200000·22,22) = 6 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 60 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 60 × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 7,087 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3500² = 7087 N = 7,087 kN

Відповідь

Pcr = 7,087 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 72,66 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2·150000 = 300000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 72,66 mm

Відповідь

d = 72,66 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 165,2, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis