Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 50 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 5 mP1 = 50 kN у 2 mP2 = 60 kN у 3 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?5 m3 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 10 mP = 35 kN у 5 mw = 2 kN/m від 5 до 8 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 2 kN/mABпереріз4 m4 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 2 kN/m від 0 до 8 mx = 4 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 3 kN/mP = 50 kNABпереріз7 m1 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 7 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 50 kN у 7 mw = 3 kN/m від 0 до 8 mx = 7 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB10 kN6 m2 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 10 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB40 kN15 kN6 m2 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN →
FAB = kN
7.Прогин балкиСередня
P = 12 kNABδ1,5 m2,5 m

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від A. Знайдіть прогин δB вільного кінця B.

P = 12 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 5 kN/mδL = 5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колонСередня
PL = 6 m30 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 5 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 56 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 50 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​2 m1 m2 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 50·2 + 60·3
RB = 280/5 = 56 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 56 = 54 kN

Відповідь

RB = 56 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 21,4 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​RB​5 m3 m2 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN, прикладена в x̄ = 6,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·5 + 2·3·6,5
RB = 214/10 = 21,4 kN
ΣFy = 0: RA = 41 − 21,4 = 19,6 kN

Відповідь

RB = 21,4 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 16 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 2·8·4
RB = 64/8 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 8RB​ = 8переріз4 m4 m

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 8·4 − 2·4·2 = 16 kN·m

Відповідь

Mx = 16 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 54,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·7 + 3·8·4
RB = 446/8 = 55,75 kN
ΣFy = 0: RA = 74 − 55,75 = 18,25 kN
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​ = 18,25RB​ = 55,75переріз7 m1 m

Розріжте в x = 7 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 18,25·7 − 3·7·3,5 = 54,25 kN·m

Відповідь

Mx = 54,25 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −7,454 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·2 → Cy = 3,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 3,333 = 6,667 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6,667/0,8944 = −7,454 kN

Відповідь

FAB = −7,454 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −23,04 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB40 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·2 + 15·3 → Cy = 20,83 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 20,83 = 19,17 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −19,17/0,8321 = −23,04 kN

Відповідь

FAB = −23,04 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δB = 35,8 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 12000 N, a = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δP = Pa³/(3EI) = 10,23 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01023 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 35,8 mm

Відповідь

δB = 35,8 mm
8.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 14,65 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,465 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 14,65 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 14,65 × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 24,67 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/3000² = 24674 N = 24,67 kN

Відповідь

Pcr = 24,67 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 6,218 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333,3² = 6,218 MPa

Відповідь

σcr = 6,218 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis