Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P = 45 kNM = 10 kN·mABRB​ = ?1,5 m1 m2,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 1,5 m від A і зосередженим моментом M, що діє проти годинникової стрілки, на відстані 2,5 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 5 mP = 45 kN у 1,5 mM = 10 kN·m (проти годинникової стрілки) у 2,5 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 4 kN/mP = 15 kNABCRA​ = ?1 m3 m2 m4 m

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 1 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 4 m до вільного кінця в 10 m. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 6 mAC = 10 mP = 15 kN у 1 mw = 4 kN/m від 4 до 10 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
4 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 3 m4 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
10 kN/m10 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

10 kN @ 12 m50 kN @ 6 m10 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB30 kN6 m4 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 30 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB60 kN25 kN5 m2 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 60 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN ←
FAB = kN
7.Прогин балкиСередня
P = 20 kNABδ1,5 m3,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від опори A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 20 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 2,5 kN/mABδ3 m

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 100 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту hreq перерізу.

w = 2,5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 100 mm
hreq = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 5 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 1 md = 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 11,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣMA = 0: RB·5 − 45·1,5 + 10 = 0
RB = 57,5/5 = 11,5 kN

Рівновага по вертикалі

RA = 45 − 11,5 = 33,5 kN

Відповідь

RB = 11,5 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 8,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 4·6 = 24 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 15·1 + 24·7
RB = 183/6 = 30,5 kN
RA = 39 − 30,5 = 8,5 kN

Відповідь

RA = 8,5 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 35,67 kN, R2 = 30,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 33,67, MC = 63,33, MD = 89 kN·m, ME = 60,67, MF = 30,33, MG = 0

Відповідь

Позначка D: MD = 89 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 68 kN, R2 = 92 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 116, MC = 192, MD = 228 kN·m, ME = 124, MF = −20, MG = 0

Відповідь

Позначка D: MD = 228 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 13,33 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 30·4 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 20 = 10 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20/0,8321 = −24,04 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−24,04)·0,5547 = 13,33 kN

Відповідь

FAC = 13,33 kN (розтяг)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −62,61 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB60 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·2 − 25·4 → Cy = 4 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 4 = 56 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −56/0,8944 = −62,61 kN

Відповідь

FAB = −62,61 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δP = 14,58 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 20000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·1500²·3500²/(3·2,52 × 10¹²·5000) = 14,58 mm

Відповідь

δP = 14,58 mm
8.Прогин балки

Відповідь: hreq = 142,2 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δallow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Потрібний момент інерції

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·3000⁴/(384·11000·10) = 2,397 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,397 × 10⁷/100)1/3 = 142,2 mm

Відповідь

hreq = 142,2 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 4,395 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2500² = 4395 N = 4,395 kN

Відповідь

Pcr = 4,395 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 77,11 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12,5 = 160

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Відповідь

σcr = 77,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis