Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 40 kNP2​ = 20 kNABRA​ = ?RB​1 m0,5 m3,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 5 mP1 = 40 kN у 1 mP2 = 20 kN у 1,5 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 6 kN/mP = 40 kNABRA​RB​ = ?4 m1 m3 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 10 mP = 40 kN у 4 mw = 6 kN/m від 5 до 8 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 3 kN/mABпереріз0,5 m3,5 m

Знайдіть поперечну силу Vx у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 3 kN/m від 0 до 4 mx = 0,5 m
Vx = kN
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 10 kN/mP = 50 kNAB5 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 6 mP = 50 kN у 5 mw = 10 kN/m від 0 до 6 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABCDEFGH25 kN10 kN30 kN15 kN10 kN4 × 4 m3 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

C: 25 kN ↓D: 10 kN ↓F: 30 kN ↓G: 15 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент FC
  13. 13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB35 kN15 kN4 m1 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN →
FBC = kN
7.Прогин балкиСередня
P = 25 kNABδ4 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 4 m від опори A. Знайдіть прогин δP під силою.

P = 25 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 8 kN/mP = 14 kNδL = 2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 14 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 3 md = 20 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 50 kNL = 5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 50 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 50 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 46 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 40 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1 m0,5 m3,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 40·1 + 20·1,5
RB = 70/5 = 14 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 14 = 46 kN

Відповідь

RA = 46 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 27,7 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 6 kN/mP = 40 kNABRA​RB​4 m1 m3 m2 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, прикладена в x̄ = 6,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·4 + 6·3·6,5
RB = 277/10 = 27,7 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 27,7 = 30,3 kN

Відповідь

RB = 27,7 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Vx = 4,5 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 3·4·2
RB = 24/4 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 6RB​ = 6переріз0,5 m3,5 m

Розріжте в x = 0,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = RA − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)
Vx = 6 − 3·0,5 = 4,5 kN

Відповідь

Vx = 4,5 kN
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 73,47 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·5 + 10·6·3
RB = 430/6 = 71,67 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 71,67 = 38,33 kN

Де V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 38,33/10 = 3,833 m

Максимальний момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 38,33·3,833 − 10·3,833²/2 = 73,47 kN·m

Відповідь

Mmax = 73,47 kN·m

Це в точці x = 3,833 m від A.

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 63,33 kN (T), BC: 63,33 kN (T), CD: 56,67 kN (T), DE: 56,67 kN (T), FG: 86,67 kN (C), GH: 86,67 kN (C), AF: 79,17 kN (C), HE: 70,83 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 29,17 kN (T), HC: 37,5 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: BF
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −29,3 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB35 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 + 15·2 → Cy = 16,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 16,25 = 18,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −16,25/0,5547 = −29,3 kN

Відповідь

FBC = −29,3 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δP = 15,69 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 25000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δP = Pa²b²/(3EIL) = 25000·4000²·1000²/(3·1,7 × 10¹²·5000) = 15,69 mm

Відповідь

δP = 15,69 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 1,875 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 14000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 14000·2500³/(48·4,6 × 10¹²) = 0,9907 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 0,8846 mm

Додайте

δmax = 0,9907 + 0,8846 = 1,875 mm

Відповідь

δmax = 1,875 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 6,89 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6,89 kN

Відповідь

Pcr = 6,89 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 81,97 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 81,97 mm

Відповідь

d = 81,97 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 170,8, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis