Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mP₁ = 40 kN у 1 mP₂ = 30 kN у 2 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 4 m від A під кутом 50° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 0,5 m від A. Знайдіть величину повної реакції R_A у шарнірі A.

L = 5 mP = 60 kN у 4 m, θ = 50°Q = 45 kN у 0,5 m

R_A = kN

3.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_x під силою P₁. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9,5 mP₁ = 70 kN у 1 mP₂ = 70 kN у 9,5 mопори в x = 0 і x = 8 m

M_x = kN·m

4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть максимальний додатний згинальний момент M_max між опорами.

L = 7 mw = 5 kN/m від 0 до 7 mопори в x = 0 і x = 6 m

M_max = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

F: 15 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

B: 10 kN ↓C: 20 kN ↓D: 10 kN ↓F: 35 kN ↓F: 10 kN →H: 30 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть величину згинального моменту M_A у защемленні.

L = 6 mw = 8 kN/m

M_A = kN·m

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 40 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 40 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1 + 30·2

R_B = 100/4 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 25 = 45 kN

Відповідь

R_B = 25 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 62,9 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

P_v = 60·sin 50° = 45,96 kN

P_h = 60·cos 50° = 38,57 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45,96·4 + 45·0,5 → R_B = 41,27 kN

A_y = 45,96 + 45 − 41,27 = 49,69 kN

A_x = P_h = 38,57 kN

Повна реакція в A

R_A = √(38,57² + 49,69²) = 62,9 kN

Відповідь

R_A = 62,9 kN

3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 48,13 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 70·1 + 70·9,5

R_B = 735/8 = 91,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 91,88 = 48,13 kN

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину

M_x = R_A·1 = 48,13·1 = 48,13 kN·m

Відповідь

M_x = 48,13 kN·m

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 21,27 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·7 = 35 kN, прикладена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·7·3,5

R_B = 122,5/6 = 20,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 20,42 = 14,58 kN

Нульова поперечна сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 14,58/5 = 2,917 m

Максимальний додатний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 14,58²/(2·5) = 21,27 kN·m

Відповідь

M_max = 21,27 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 8,438 kN (T), BC: 5,625 kN (T), CD: 5,625 kN (T), DE: 2,812 kN (T), FG: 8,438 kN (C), GH: 2,812 kN (C), AF: 14,06 kN (C), HE: 4,687 kN (C), BF: 3,75 kN (C), CG: 0, DH: 3,75 kN (T), BG: 4,688 kN (T), DG: 4,688 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 47,81 kN (T), BC: 47,81 kN (T), CD: 40,94 kN (T), DE: 40,94 kN (T), FG: 51,88 kN (C), GH: 51,88 kN (C), AF: 63,02 kN (C), HE: 68,23 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 6,771 kN (T), HC: 18,23 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 1,587 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 1,587 mm

Відповідь

δ = 1,587 mm

8.Прогин балки

Відповідь: M_A = 36 kN·m

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·6/8 = 18 kN

Момент у защемленні

Моменти навантажень і реакції додаткової опори відносно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 144 − 108 = 36 kN·m

Відповідь

M_A = 36 kN·m

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 15,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15,5 kN

Відповідь

P_cr = 15,5 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 73,84 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 73,84 mm

Відповідь

d = 73,84 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 325, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis

Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Метод

Поперечна сила і згинальний момент

Метод

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод

Прогин балки

Стійкість колон

2Задачі для практики

3Розчини

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Складові P

Реакції

Повна реакція в A

Відповідь

Опорні реакції

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Нульова поперечна сила

Максимальний додатний момент

Відповідь

Вузол C

Перевірка методом вузлів

Відповідь

Вузол G

Перевірка методом вузлів

Відповідь

Узгоджені одиниці

Прогин

Відповідь

Відкиньте додаткову опору

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Момент у защемленні

Відповідь

Найменший момент інерції

Розрахункова довжина

Критична сила

Відповідь

Потрібна критична сила

Виразіть діаметр

Відповідь

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину