Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 50 kNP2​ = 40 kNABRA​ = ?RB​1,5 m3,5 m1 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 6 mP1 = 50 kN у 1,5 mP2 = 40 kN у 5 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 6 kN/mP = 70 kNABCRA​ = ?3 m2 m3 m

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 3 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 3 m до вільного кінця в 8 m. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 5 mAC = 8 mP = 70 kN у 3 mw = 6 kN/m від 3 до 8 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
15 kN/m30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 6 m15 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 10 kN/mP = 20 kNABпереріз1 m2 m7 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 20 kN у 3 mw = 10 kN/m від 0 до 10 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB25 kN8 m6 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 6 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB20 kN30 kN4 m1 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 20 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →
FBC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 10 kN/mδL = 1,5 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 20 kNP = 20 kNABδ2,667 m2,666 m2,667 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома однаковими зосередженими силами P у третинах прольоту (L/3 від кожної опори). За принципом накладання знайдіть прогин δmax посередині прольоту.

P = 20 kNL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 1 md = 25 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 1,5 md = 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 44,17 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 50 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​1,5 m3,5 m1 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 50·1,5 + 40·5
RB = 275/6 = 45,83 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 45,83 = 44,17 kN

Відповідь

RA = 44,17 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 6·5 = 30 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5,5 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 70·3 + 30·5,5
RB = 375/5 = 75 kN
RA = 100 − 75 = 25 kN

Відповідь

RA = 25 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 105 kN, R2 = 105 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 180, MC = 300, MD = 360 kN·m, ME = 300, MF = 180, MG = 0

Відповідь

Позначка D: MD = 360 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 59 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·3 + 10·10·5
RB = 560/10 = 56 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 56 = 64 kN
w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​ = 64RB​ = 56переріз1 m2 m7 m

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 64·1 − 10·1·0,5 = 59 kN·m

Відповідь

Mx = 59 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −22,53 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·6 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 18,75 = 6,25 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18,75/0,8321 = −22,53 kN

Відповідь

FBC = −22,53 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −38,89 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB20 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 + 30·3 → Cy = 27,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 27,5 = −7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −27,5/0,7071 = −38,89 kN

Відповідь

FBC = −38,89 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 2,511 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 2,511 mm

Відповідь

δ = 2,511 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 32,45 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 20000 N, L = 8000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Одна сила в точці L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm
δ₁ = 16,23 mm

Додайте обидві сили

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 32,45 mm

Відповідь

δmax = 32,45 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 77,24 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/700² = 77244 N = 77,24 kN

Відповідь

Pcr = 77,24 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 197,4 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/15 = 100

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Відповідь

σcr = 197,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis