Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P = 80 kNM = 25 kN·mABRB​ = ?2 m1,5 m1,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 3,5 m від A і зосередженим моментом M, що діє проти годинникової стрілки, на відстані 2 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 5 mP = 80 kN у 3,5 mM = 25 kN·m (проти годинникової стрілки) у 2 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 4 kN/mP = 65 kNABCRB​ = ?3 m1 m2 m2 m

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 3 m до вільного кінця в 8 m. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 6 mAC = 8 mP = 65 kN у 4 mw = 4 kN/m від 3 до 8 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
35 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 5 m15 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 3 kN/mP = 50 kNABпереріз2 m2 m2 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mP = 50 kN у 2 mw = 3 kN/m від 0 до 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABCDEFGH25 kN20 kN40 kN20 kN4 × 4 m4 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

C: 25 kN ↓D: 20 kN ↓G: 40 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент FC
  13. 13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABCDEFGH10 kN10 kN20 kN25 kN4 × 4 m4 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 10 kN ↓D: 10 kN ↓F: 20 kN →G: 25 kN ↓
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент BG
  13. 13елемент DG
7.Прогин балкиСередня
w = 12 kN/mδL = 4 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 2 kN/mP = 15 kNδL = 3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 15 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 1 m25 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 50 kNL = 4 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 50 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 50 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 51 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣMA = 0: RB·5 − 80·3,5 + 25 = 0
RB = 255/5 = 51 kN

Рівновага по вертикалі

RA = 80 − 51 = 29 kN

Відповідь

RB = 51 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 61,67 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 4·5 = 20 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5,5 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 65·4 + 20·5,5
RB = 370/6 = 61,67 kN
RA = 85 − 61,67 = 23,33 kN

Відповідь

RB = 61,67 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 5 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 18,33 kN, R2 = 31,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 18,33, MC = 21,67, MD = 25, ME = 28,33, MF = 31,67 kN·m, MG = 0

Відповідь

Позначка F: MF = 31,67 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 45,33 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, прикладена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·2 + 3·6·3
RB = 154/6 = 25,67 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 25,67 = 42,33 kN
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​ = 42,33RB​ = 25,67переріз2 m2 m2 m

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 42,33·4 − 50·(4 − 2) − 3·4·2 = 45,33 kN·m

Відповідь

Mx = 45,33 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 42,5 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 62,5 kN (T), DE: 62,5 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 60,1 kN (C), HE: 88,39 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 60,1 kN (T), HC: 31,82 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: BF
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 37,5 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 37,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 24,75 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 24,75 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG
7.Прогин балки

Відповідь: δmax = 6,803 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 6,803 mm

Відповідь

δmax = 6,803 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 1,256 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 15000·3000³/(48·8,4 × 10¹²) = 1,004 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 0,2511 mm

Додайте

δmax = 1,004 + 0,2511 = 1,256 mm

Відповідь

δmax = 1,256 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 91,79 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/700² = 91793 N = 91,79 kN

Відповідь

Pcr = 91,79 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 49,88 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 3·50000 = 150000 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 49,88 mm

Відповідь

d = 49,88 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 160,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis