Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 3 m і зосередженою силою P на відстані 4 m від стіни. Знайдіть вертикальну реакцію R_A у стіні.

L = 5 mP = 80 kN у 4 mw = 10 kN/m від 0 до 3 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 1 m від A під кутом 60° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 6 m від A. Знайдіть величину повної реакції R_A у шарнірі A.

L = 10 mP = 50 kN у 1 m, θ = 60°Q = 40 kN у 6 m

R_A = kN

3.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 7 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 2 kN/m від 0 до 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP = 65 kN у 3 mw = 6 kN/m від 0 до 6 m

M_max = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓F: 35 kN ↓H: 15 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 20 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN ←

F_BC = kN

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 50 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/300. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 2,5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 50 mm

h_req = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 10 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 10 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 110 kN

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 10·3 = 30 kN, x̄ = 1,5 m

Рівновага по вертикалі

R_A = P + W = 80 + 30 = 110 kN

Відповідь

R_A = 110 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 60,39 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

P_v = 50·sin 60° = 43,3 kN

P_h = 50·cos 60° = 25 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·10 = 43,3·1 + 40·6 → R_B = 28,33 kN

A_y = 43,3 + 40 − 28,33 = 54,97 kN

A_x = P_h = 25 kN

Повна реакція в A

R_A = √(25² + 54,97²) = 60,39 kN

Відповідь

R_A = 60,39 kN

3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 7 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Розріжте в x = 7 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 8·7 − 2·7·3,5 = 7 kN·m

Відповідь

M_x = 7 kN·m

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 124,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·3 + 6·6·3

R_B = 303/6 = 50,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 101 − 50,5 = 50,5 kN

Де V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 32,5 kN

V(3⁺) = 32,5 − 65 = −32,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 50,5·3 − 6·3²/2 = 124,5 kN·m

Відповідь

M_max = 124,5 kN·m

Це в точці x = 3 m від A.

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 42,19 kN (T), BC: 31,87 kN (T), CD: 31,87 kN (T), DE: 21,56 kN (T), FG: 42,19 kN (C), GH: 21,56 kN (C), AF: 70,31 kN (C), HE: 35,94 kN (C), BF: 21,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 17,19 kN (T), DG: 17,19 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = 12,5 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·1 − 15·4 → C_y = −10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − −10 = 30 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−10/0,8 = 12,5 kN

Відповідь

F_BC = 12,5 kN (розтяг)

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 24,11 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 20·3000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 24,11 mm

Відповідь

δ = 24,11 mm

8.Прогин балки

Відповідь: h_req = 179,2 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3000⁴/(384·11000·10) = 2,397 × 10⁷ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·2,397 × 10⁷/50)^1/3 = 179,2 mm

Відповідь

h_req = 179,2 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 8,721 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN

Відповідь

P_cr = 8,721 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 52,21 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·10000 = 20000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 52,21 mm

Відповідь

d = 52,21 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 459,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis