Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 30 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?1,5 m3 m1,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 6 mP1 = 30 kN у 1,5 mP2 = 15 kN у 4,5 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 8 kN/mP = 20 kNABCRB​ = ?0,5 m4 m1,5 m

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4,5 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 0,5 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 4,5 m до вільного кінця в 6 m. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 20 kN у 0,5 mw = 8 kN/m від 4,5 до 6 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
M0​ = 60 kN·mAB9 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженим моментом M0 = 60 kN·m, що діє за годинниковою стрілкою, на відстані x = 9 m від A, і більше нічим. Знайдіть згинальний момент Mx безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mM0 = 60 kN·m за годинниковою стрілкою, на відстані 9 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 8 kN/mP = 55 kNABпереріз2 m2 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 55 kN у 2 mw = 8 kN/m від 0 до 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB50 kN6 m2 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 50 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB50 kN15 kN6 m1 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 50 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN ←
FAC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 10 kN/mδL = 5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 23 kNABδ4 m1 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δmax балки.

P = 23 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 1 m20 × 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 75 kNL = 2,5 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 75 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 75 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 18,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 30 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1,5 m3 m1,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 30·1,5 + 15·4,5
RB = 112,5/6 = 18,75 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 18,75 = 26,25 kN

Відповідь

RB = 18,75 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 16,22 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 8·1,5 = 12 kN, x̄ = (4,5 + 6)/2 = 5,25 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 20·0,5 + 12·5,25
RB = 73/4,5 = 16,22 kN
RA = 32 − 16,22 = 15,78 kN

Відповідь

RB = 16,22 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = −54 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Прикладений зосереджений момент змінює епюру згинальних моментів стрибком на величину цього моменту.

Опорні реакції

Моменти відносно A, проти годинникової стрілки додатні: RB·L − M0 = 0. Рівновага по вертикалі: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 60/10 = 6 kN (вгору)
RA = −RB = −6 kN (вниз)

Переріз безпосередньо ліворуч від зосередженого моменту

Ліва частина містить лише RA.

Mx = RA·a = −6·9 = −54 kN·m

Відповідь

Mx = −54 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 71 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2 + 8·4·2
RB = 174/4 = 43,5 kN
ΣFy = 0: RA = 87 − 43,5 = 43,5 kN
w = 8 kN/mP = 55 kNABRA​ = 43,5RB​ = 43,5переріз2 m2 m

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 43,5·2 − 8·2·1 = 71 kN·m

Відповідь

Mx = 71 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 16,67 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·2 → Cy = 16,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 16,67 = 33,33 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −16,67/0,7071 = −23,57 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−23,57)·0,7071 = 16,67 kN

Відповідь

FAC = 16,67 kN (розтяг)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 8,333 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB50 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·1 − 15·2 → Cy = 3,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 3,333 = 46,67 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,333/0,3714 = −8,975 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−8,975)·0,9285 = 8,333 kN

Відповідь

FAC = 8,333 kN (розтяг)
7.Прогин балки

Відповідь: δmax = 32,29 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 32,29 mm

Відповідь

δmax = 32,29 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 7,542 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Максимальний прогин

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 7,542 mm

Відповідь

δmax = 7,542 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 214,8 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/700² = 214849 N = 214,8 kN

Відповідь

Pcr = 214,8 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 64,15 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 2,5·75000 = 187500 N
KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 64,15 mm

Відповідь

d = 64,15 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 109,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis