Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 2,5 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 5 mP = 60 kN у 2,5 mw = 10 kN/m від 0 до 5 m

M_A = kN·m

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (4 m від A) і спирається на рухому опору в D (8 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 6 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 4 mAD = 8 mP = 10 kN у 6 mw = 4 kN/m від 4 до 8 m

M_A = kN·m

3.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

30 kN @ 2 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

30 kN @ 0 m10 kN @ 6 m30 kN @ 3 m10 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 15 kN ↓C: 10 kN ↓F: 10 kN ↓G: 40 kN ↓H: 10 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 45 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←

F_AC = kN

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 275 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2,5 m

Момент відносно стіни

M_A = P·a + W·x̄ = 60·2,5 + 50·2,5 = 275 kN·m

Відповідь

M_A = 275 kN·m

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 52 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 4·4 = 16 kN у 2 m від C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 10·2 + 16·2

R_D = 13 kN

V_C = 26 − 13 = 13 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 13 = 13 kN

M_A = 13·4 = 52 kN·m

Відповідь

M_A = 52 kN·m

3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 35 kN, R₂ = 25 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 32,5, M_C = 60 kN·m, M_D = 52,5, M_E = 40, M_F = 22,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 60 kN·m

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 1 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 58,33 kN, R₂ = 41,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −30 kN·m, M_C = −6,667, M_D = 6,667, M_E = −20, M_F = −10, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = −30 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 46,25 kN (T), BC: 46,25 kN (T), CD: 38,75 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 67,5 kN (C), GH: 67,5 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 54,8 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 30,05 kN (T), HC: 40,66 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = −16,41 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·1 − 30·4 → C_y = −9,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − −9,375 = 54,38 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/8,062 = 0,4961, cos γ = 7/8,062 = 0,8682

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−9,375/0,4961 = 18,9 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(18,9)·0,8682 = −16,41 kN

Відповідь

F_AC = −16,41 kN (стиск)

7.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,009864 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2500³/(24·1,32 × 10¹²) = 0,009864 rad

Відповідь

θ_A = 0,009864 rad

Це 0,5652°.

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 1,187 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·1500⁴/(384·200000·4,167) = 1,187 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,187 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 1,187 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 158,8 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158,8 kN

Відповідь

P_cr = 158,8 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 8,812 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/5 = 280

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Відповідь

σ_cr = 8,812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis