Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 10 mP₁ = 15 kN у 5 mP₂ = 35 kN у 7 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 6 mP = 20 kN у 2,5 mw = 5 kN/m від 3 до 6 m

R_A = kN

3.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_x під силою P₁. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP₁ = 55 kN у 1 mP₂ = 50 kN у 5 mопори в x = 0 і x = 4 m

M_x = kN·m

4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

25 kN @ 6 m20 kN @ 4 m4 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 3 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 35 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 30 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 4 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 18 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·5 + 35·7

R_B = 320/10 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 32 = 18 kN

Відповідь

R_A = 18 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 15,42 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·2,5 + 5·3·4,5

R_B = 117,5/6 = 19,58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 19,58 = 15,42 kN

Відповідь

R_A = 15,42 kN

3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 28,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 50·5

R_B = 305/4 = 76,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 76,25 = 28,75 kN

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину

M_x = R_A·1 = 28,75·1 = 28,75 kN·m

Відповідь

M_x = 28,75 kN·m

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 5 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 9 kN, R₂ = 56 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 7, M_C = 10, M_D = 9, M_E = 4, M_F = −25 kN·m, M_G = 0

Відповідь

Позначка F: M_F = −25 kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 9,722 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·5 → C_y = 29,17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 29,17 = 5,833 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −29,17/0,9487 = −30,74 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−30,74)·0,3162 = 9,722 kN

Відповідь

F_AC = 9,722 kN (розтяг)

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −11,18 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 − 25·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 10 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Вузол C

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,8944 = −11,18 kN

Відповідь

F_BC = −11,18 kN (стиск)

7.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,009301 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 20·5000³/(24·1,12 × 10¹³) = 0,009301 rad

Відповідь

θ_A = 0,009301 rad

Це 0,5329°.

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 1,523 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 4000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·3000³/(48·8,4 × 10¹²) = 0,2679 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 1,256 mm

Додайте

δ_max = 0,2679 + 1,256 = 1,523 mm

Відповідь

δ_max = 1,523 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 3,052 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·6000 = 12000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/12000² = 3052 N = 3,052 kN

Відповідь

P_cr = 3,052 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 4,819 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/6,25 = 640

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4,819 MPa

Відповідь

σ_cr = 4,819 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis

Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Метод

Поперечна сила і згинальний момент

Метод

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод

Прогин балки

Стійкість колон

2Задачі для практики

3Розчини

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Опорні реакції

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Згинальний момент у кожній позначці

Відповідь

Опорні реакції

Вузол C

Відповідь

Опорні реакції

Вузол C

Відповідь

Узгоджені одиниці

Кут повороту на кінці

Відповідь

Узгоджені одиниці

Кожне навантаження окремо

Додайте

Відповідь

Найменший момент інерції

Розрахункова довжина

Критична сила

Відповідь

Найменший момент інерції

Радіус інерції і гнучкість

Критичне напруження

Відповідь

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину