Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 45 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?4 m0,5 m1,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 6 mP1 = 45 kN у 4 mP2 = 30 kN у 4,5 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w0​ = 4 kN/mP = 45 kNABMA​ = ?2,5 m1,5 m

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює 4 kN/m біля стіни й спадає до нуля на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 2,5 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту MA у стіні.

L = 4 mw0 = 4 kN/mP = 45 kN у 2,5 m
MA = kN·m
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
P1​ = 55 kNP2​ = 45 kNABC1,5 m3,5 m1,5 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1,5 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P1 між опорами і зосередженою силою P2 у C. Знайдіть згинальний момент Mx під силою P1. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6,5 mP1 = 55 kN у 1,5 mP2 = 45 kN у 6,5 mопори в x = 0 і x = 5 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 4 kN/mABC8 m1 m

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Рівномірно розподілене навантаження w діє по всій довжині A–C. Знайдіть згинальний момент MB на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 9 mw = 4 kN/m від 0 до 9 mопори в x = 0 і x = 8 m
MB = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB20 kN5 m1 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 20 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABCDEFGH30 kN30 kN4 × 4 m3 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

F: 30 kN →H: 30 kN ↓
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент BG
  13. 13елемент DG
7.Прогин балкиСередня
w = 6 kN/mP = 12 kNABδ4 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 12 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 25 kNABδ4,5 m1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1,5 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δmax балки.

P = 25 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 2 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 2,5 md = 30 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 52,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 45 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​4 m0,5 m1,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 45·4 + 30·4,5
RB = 315/6 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 52,5 = 22,5 kN

Відповідь

RB = 52,5 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: MA = 123,2 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·4·4 = 8 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m

Момент відносно стіни

MA = W·x̄ + P·a = 8·1,333 + 45·2,5 = 123,2 kN·m

Відповідь

MA = 123,2 kN·m
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 37,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣMA = 0: RB·5 = 55·1,5 + 45·6,5
RB = 375/5 = 75 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 75 = 25 kN

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Mx = RA·1,5 = 25·1,5 = 37,5 kN·m

Відповідь

Mx = 37,5 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: MB = −2 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки з урахуванням навантаження на консолі.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·9 = 36 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·9·4,5
RB = 162/8 = 20,25 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 20,25 = 15,75 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

Навантаження на консолі, w·a, прикладене на відстані a/2 від B і вигинає балку над опорою опуклістю догори.

MB = −w·a²/2 = −4·1²/2 = −2 kN·m

Відповідь

MB = −2 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −8,944 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·1 → Cy = 4 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 4 = 16 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −4/0,4472 = −8,944 kN

Відповідь

FBC = −8,944 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 32,5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 32,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 3,125 kN (C), HE: 46,87 kN (C), BF: 1,875 kN (T), CG: 0, DH: 1,875 kN (C), BG: 3,125 kN (C), DG: 3,125 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 39,3 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 12000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(3EI) = 12000·4000³/(3·1,14 × 10¹³) = 22,46 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 16,84 mm

Додайте

δ = 22,46 + 16,84 = 39,3 mm

Відповідь

δ = 39,3 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 9,359 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 25000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

Максимальний прогин

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 9,359 mm

Відповідь

δmax = 9,359 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 86,82 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86,82 kN

Відповідь

Pcr = 86,82 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 4,441 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/7,5 = 666,7

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Відповідь

σcr = 4,441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis