Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 35 kNP2​ = 40 kNABCRA​ = ?1,5 m2,5 m1 m

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 4 mAC = 5 mP1 = 35 kN у 1,5 mP2 = 40 kN у 5 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​RB​ = ?1,5 m1,5 m2 m1 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 6 mP = 50 kN у 1,5 mw = 3 kN/m від 3 до 5 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 10 kN/mP = 10 kNABпереріз0,5 m0,5 m1 m

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 1 m від A. Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 0,5 m від защемлення A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 2 mP = 10 kN у 1 mw = 10 kN/m від 0 до 2 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 6 kN/mP = 20 kNAB3 m7 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 10 mP = 20 kN у 3 mw = 6 kN/m від 0 до 10 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABCDEFGH20 kN35 kN10 kN10 kN4 × 3 m3 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 20 kN ↓D: 35 kN ↓F: 10 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент FC
  13. 13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABCDEFGH20 kN10 kN35 kN30 kN4 × 3 m3 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 20 kN ↓G: 10 kN ↓H: 35 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент FC
  13. 13елемент HC
7.Прогин балкиСередня
w = 15 kN/mδL = 2,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 12 kN/mP = 4 kNδL = 3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 4 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 2,5 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 6 md = 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)d = 40 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 11,88 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣMA = 0: RB·4 = 35·1,5 + 40·5
RB = 252,5/4 = 63,13 kN

Рівновага по вертикалі

RA = 35 + 40 − 63,13 = 11,88 kN

Відповідь

RA = 11,88 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 16,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​RB​1,5 m1,5 m2 m1 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·1,5 + 3·2·4
RB = 99/6 = 16,5 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 16,5 = 39,5 kN

Відповідь

RB = 16,5 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = −16,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Залиште частину з вільним кінцем

P: −10·0,5 = −5 kN·m
w: −10·1,5²/2 = −11,25 kN·m
Mx = −5 − 11,25 = −16,25 kN·m

Відповідь

Mx = −16,25 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 108 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, прикладена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·3 + 6·10·5
RB = 360/10 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 36 = 44 kN

Де V = 0?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (44 − 20)/6 = 4 m

Максимальний момент

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 3) − w·x0²/2 = 108 kN·m

Відповідь

Mmax = 108 kN·m

Це в точці x = 4 m від A.

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 33,75 kN (T), BC: 33,75 kN (T), CD: 41,25 kN (T), DE: 41,25 kN (T), FG: 37,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 47,73 kN (C), HE: 58,34 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 5,303 kN (T), HC: 5,303 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 6,25 kN (T), BC: 6,25 kN (T), CD: 28,75 kN (T), DE: 28,75 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 52,5 kN (C), AF: 51,27 kN (C), HE: 40,66 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 22,98 kN (T), HC: 8,839 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: DH
7.Прогин балки

Відповідь: δmax = 1,298 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 1,298 mm

Відповідь

δmax = 1,298 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 17,75 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 4000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 4000·3000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 2,679 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 15,07 mm

Додайте

δmax = 2,679 + 15,07 = 17,75 mm

Відповідь

δmax = 17,75 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 635 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2500² = 635009 N = 635 kN

Відповідь

Pcr = 635 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 7,676 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Відповідь

σcr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis