Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 6 mAC = 10 mP₁ = 15 kN у 5 mP₂ = 25 kN у 10 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3 m від A) і спирається на рухому опору в D (10 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 8 m від A і зосередженою силою Q на відстані 2 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 3 mAD = 10 mP = 60 kN у 8 mQ = 50 kN у 2 m

M_A = kN·m

3.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 2 m12 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mP = 55 kN у 2 mw = 8 kN/m від 0 до 8 m

M_max = kN·m

5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 40 kN ↓G: 30 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

B: 20 kN ↓D: 15 kN ↓F: 25 kN ↓H: 20 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта дерев’яна балка прямокутного перерізу шириною 150 mm навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Її прогин посередині прольоту не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменшу висоту h_req перерізу.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)b = 150 mm

h_req = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 54,17 kN

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·5 + 25·10

R_B = 325/6 = 54,17 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 15 + 25 − 54,17 = −14,17 kN

Відповідь

R_B = 54,17 kN

R_A від’ємна: шарнір A має утримувати балку від підйому.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 151,4 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·7 = 60·5

R_D = 42,86 kN

V_C = 60 − 42,86 = 17,14 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 50 + 17,14 = 67,14 kN

M_A = 50·2 + 17,14·3 = 151,4 kN·m

Відповідь

M_A = 151,4 kN·m

3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 73,67 kN, R₂ = 72,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 147,3, M_C = 194,7, M_D = 218 kN·m, M_E = 193,3, M_F = 120,7, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 218 kN·m

4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 130,8 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·2 + 8·8·4

R_B = 366/8 = 45,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 119 − 45,75 = 73,25 kN

Де V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (73,25 − 55)/8 = 2,281 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 2) − w·x₀²/2 = 130,8 kN·m

Відповідь

M_max = 130,8 kN·m

Це в точці x = 2,281 m від A.

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 45 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 25 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 63,64 kN (C), HE: 35,36 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 7,071 kN (T), HC: 35,36 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 22,5 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 17,5 kN (T), DE: 17,5 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 60,1 kN (C), HE: 24,75 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 3,536 kN (C), HC: 3,536 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 10,61 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 10,61 mm

Відповідь

δ_max = 10,61 mm

8.Прогин балки

Відповідь: h_req = 210,4 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Потрібний момент інерції

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,165 × 10⁸ mm⁴

Потрібна висота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,165 × 10⁸/150)^1/3 = 210,4 mm

Відповідь

h_req = 210,4 mm

На практиці беруть найближчу більшу стандартну висоту.

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 8,97 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1750² = 8970 N = 8,97 kN

Відповідь

P_cr = 8,97 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 4,441 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/7,5 = 666,7

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Відповідь

σ_cr = 4,441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis