Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
w = 10 kN/mP = 55 kNABMA​ = ?1,5 m0,5 m3 m

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 2 m і зосередженою силою P на відстані 1,5 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту MA у стіні.

L = 5 mP = 55 kN у 1,5 mw = 10 kN/m від 0 до 2 m
MA = kN·m
2.Опорні реакції балокСкладна
P = 20 kN, 30°Q = 40 kNABRA​ = ?0,5 m3 m0,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 0,5 m від A під кутом 30° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 3,5 m від A. Знайдіть величину повної реакції RA у шарнірі A.

L = 4 mP = 20 kN у 0,5 m, θ = 30°Q = 40 kN у 3,5 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 10 kN/mABпереріз6,5 m1,5 m

Знайдіть поперечну силу Vx у перерізі x = 6,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 10 kN/m від 0 до 8 mx = 6,5 m
Vx = kN
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
20 kN50 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 0 m50 kN @ 12 m35 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB55 kN5 m4 m2 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB45 kN5 kN5 m3 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 45 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN →
FAC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 12 kN/mδL = 2 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δmax посередині прольоту.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюміній)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 10 kN/mδL = 8 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції Ireq, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колонСередня
PL = 6 md = 80 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 105 kNL = 1 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 105 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 105 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: MA = 102,5 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 10·2 = 20 kN, x̄ = 1 m

Момент відносно стіни

MA = P·a + W·x̄ = 55·1,5 + 20·1 = 102,5 kN·m

Відповідь

MA = 102,5 kN·m
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 22,11 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

Pv = 20·sin 30° = 10 kN
Ph = 20·cos 30° = 17,32 kN

Реакції

ΣMA = 0: RB·4 = 10·0,5 + 40·3,5 → RB = 36,25 kN
Ay = 10 + 40 − 36,25 = 13,75 kN
Ax = Ph = 17,32 kN

Повна реакція в A

RA = √(17,32² + 13,75²) = 22,11 kN

Відповідь

RA = 22,11 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Vx = −25 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·8·4
RB = 320/8 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40переріз6,5 m1,5 m

Розріжте в x = 6,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = RA − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)
Vx = 40 − 10·6,5 = −25 kN

Відповідь

Vx = −25 kN
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: F (x = 10 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 38,75 kN, R2 = 66,25 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = −40, MC = −2,5, MD = −35, ME = −67,5, MF = −100 kN·m, MG = 0

Відповідь

Позначка F: MF = −100 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −49,19 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·4 → Cy = 44 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 44 = 11 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −44/0,8944 = −49,19 kN

Відповідь

FBC = −49,19 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 15,5 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB45 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 45·3 + 5·4 → Cy = 31 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 31 = 14 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −31/0,8944 = −34,66 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−34,66)·0,4472 = 15,5 kN

Відповідь

FAC = 15,5 kN (розтяг)
7.Прогин балки

Відповідь: δmax = 4,202 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 4,202 mm

Відповідь

δmax = 4,202 mm
8.Прогин балки

Відповідь: Ireq = 342,9 × 10⁶ mm⁴

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Обмеження прогину

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·8000⁴/(384·70000·22,22) = 3,429 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 342,9 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

Ireq = 342,9 × 10⁶ mm⁴
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 225 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4200² = 224989 N = 225 kN

Відповідь

Pcr = 225 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 78,07 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 3·105000 = 315000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 78,07 mm

Відповідь

d = 78,07 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 102,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis