Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 30 kNP2​ = 50 kNABRA​ = ?RB​1,5 m2 m1,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RA.

L = 5 mP1 = 30 kN у 1,5 mP2 = 50 kN у 3,5 m
RA = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
w = 4 kN/mP = 75 kNABCRB​ = ?6 m2 m2 m

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 8 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 6 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 6 m до вільного кінця в 10 m. Знайдіть вертикальну реакцію RB, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 8 mAC = 10 mP = 75 kN у 6 mw = 4 kN/m від 6 до 10 m
RB = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
20 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 6 m55 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 8 kN/mP = 15 kNABпереріз3 m1 m4 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 15 kN у 3 mw = 8 kN/m від 0 до 8 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB55 kN8 m1 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB10 kN20 kN8 m5 m3 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 10 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN ←
FAC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 20 kN/mP = 11 kNABδ2,5 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 11 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
P = 23 kNP = 23 kNABδ1,333 m1,334 m1,333 m

Шарнірно оперта балка навантажена двома однаковими зосередженими силами P у третинах прольоту (L/3 від кожної опори). За принципом накладання знайдіть прогин δmax посередині прольоту.

P = 23 kNL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 2 m30 × 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
P = 110 kNL = 6 md = ?поперечний переріз

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 110 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 110 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (алюміній)
d = mm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 36 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 30 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​1,5 m2 m1,5 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 30·1,5 + 50·3,5
RB = 220/5 = 44 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 44 = 36 kN

Відповідь

RA = 36 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 72,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 4·4 = 16 kN, x̄ = (6 + 10)/2 = 8 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·8 = 75·6 + 16·8
RB = 578/8 = 72,25 kN
RA = 91 − 72,25 = 18,75 kN

Відповідь

RB = 72,25 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 46,67 kN, R2 = 28,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 93,33, MC = 186,7 kN·m, MD = 170, ME = 113,3, MF = 56,67, MG = 0

Відповідь

Позначка C: MC = 186,7 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 86,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, прикладена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·3 + 8·8·4
RB = 301/8 = 37,63 kN
ΣFy = 0: RA = 79 − 37,63 = 41,38 kN
w = 8 kN/mP = 15 kNABRA​ = 41,38RB​ = 37,63переріз3 m1 m4 m

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 41,38·4 − 15·(4 − 3) − 8·4·2 = 86,5 kN·m

Відповідь

Mx = 86,5 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAB = −50,73 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·1 → Cy = 6,875 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 6,875 = 48,13 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −48,13/0,9487 = −50,73 kN

Відповідь

FAB = −50,73 kN (стиск)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = −1,25 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB10 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·5 − 20·3 → Cy = −1,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −1,25 = 11,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−1,25/0,7071 = 1,768 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(1,768)·0,7071 = −1,25 kN

Відповідь

FAC = −1,25 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 18,45 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 11000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(3EI) = 11000·2500³/(3·8,4 × 10¹²) = 6,82 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 20·2500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 11,63 mm

Додайте

δ = 6,82 + 11,63 = 18,45 mm

Відповідь

δ = 18,45 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 32,45 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, L = 4000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Одна сила в точці L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 16,23 mm

Додайте обидві сили

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 32,45 mm

Відповідь

δmax = 32,45 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 93,27 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/1000² = 93268 N = 93,27 kN

Відповідь

Pcr = 93,27 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: d = 136,8 mm

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Потрібна критична сила

Pcr = n·P = 3·110000 = 330000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 136,8 mm

Відповідь

d = 136,8 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 175,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis