Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
P1​ = 20 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​ = ?5 m3 m2 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію RB.

L = 10 mP1 = 20 kN у 5 mP2 = 40 kN у 8 m
RB = kN
2.Опорні реакції балокСкладна
P = 80 kN, 30°Q = 10 kNABRA​ = ?1,5 m3 m0,5 m

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 1,5 m від A під кутом 30° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 4,5 m від A. Знайдіть величину повної реакції RA у шарнірі A.

L = 5 mP = 80 kN у 1,5 m, θ = 30°Q = 10 kN у 4,5 m
RA = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
w = 8 kN/mABпереріз2 m3 m

Знайдіть поперечну силу Vx у перерізі x = 2 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mw = 8 kN/m від 0 до 5 mx = 2 m
Vx = kN
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 2 kN/mP = 60 kNABпереріз1,5 m2,5 m

Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mP = 60 kN у 1,5 mw = 2 kN/m від 0 до 4 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABBCACACB25 kN8 m5 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FAC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABBCACACB35 kN20 kN5 m3 m4 m

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 35 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →
FBC = kN
7.Прогин балкиСередня
w = 5 kN/mABθ4 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θA перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Прогин балкиСкладна
P = 10 kNABδ2,5 m1,5 m

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1,5 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δmax балки.

P = 10 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 1,5 m25 × 50 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 3 md = 25 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: RB = 42 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

P1​ = 20 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​5 m3 m2 m

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣMA = 0: RB·10 = 20·5 + 40·8
RB = 420/10 = 42 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 42 = 18 kN

Відповідь

RB = 42 kN
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RA = 75,11 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Складові P

Pv = 80·sin 30° = 40 kN
Ph = 80·cos 30° = 69,28 kN

Реакції

ΣMA = 0: RB·5 = 40·1,5 + 10·4,5 → RB = 21 kN
Ay = 40 + 10 − 21 = 29 kN
Ax = Ph = 69,28 kN

Повна реакція в A

RA = √(69,28² + 29²) = 75,11 kN

Відповідь

RA = 75,11 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Vx = 4 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·5·2,5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20переріз2 m3 m

Розріжте в x = 2 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = RA − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)
Vx = 20 − 8·2 = 4 kN

Відповідь

Vx = 4 kN
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mx = 60 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, прикладена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1,5 + 2·4·2
RB = 106/4 = 26,5 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 26,5 = 41,5 kN
w = 2 kN/mP = 60 kNABRA​ = 41,5RB​ = 26,5переріз1,5 m2,5 m

Розріжте в x = 1,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = RA·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)
Mx = 41,5·1,5 − 2·1,5·0,75 = 60 kN·m

Відповідь

Mx = 60 kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FAC = 11,72 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·5 → Cy = 15,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 15,63 = 9,375 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −15,63/0,8 = −19,53 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−19,53)·0,6 = 11,72 kN

Відповідь

FAC = 11,72 kN (розтяг)
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: FBC = −41,37 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

ABBCACACB35 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·3 + 20·4 → Cy = 37 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 37 = −2 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −37/0,8944 = −41,37 kN

Відповідь

FBC = −41,37 kN (стиск)
7.Прогин балки

Відповідь: θA = 0,003342 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Кут повороту на кінці

θA = wL³/(24EI) = 5·4000³/(24·3,99 × 10¹²) = 0,003342 rad

Відповідь

θA = 0,003342 rad

Це 0,1915°.

8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 5,111 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 10000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Максимальний прогин

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 5,111 mm

Відповідь

δmax = 5,111 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 14,28 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1500 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/3000² = 14279 N = 14,28 kN

Відповідь

Pcr = 14,28 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 8,567 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/6,25 = 480

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Відповідь

σcr = 8,567 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis