Будівельна механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження
рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент
M = F·d

Метод

  1. Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
  2. Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
  3. Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
  4. Використайте ΣFy = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент
V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину
σ = M·y/I
Прямокутник
I = bh³/12
Момент опору перерізу
W = I/ymax
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
  2. Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
  3. Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
  4. Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод перерізів
ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні
додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

  1. Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
  2. Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣFx = 0 і ΣFy = 0.
  3. Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
  4. Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту
δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці
δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження
δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання
δ = δ1 + δ2

Стійкість колон

Критична сила Ейлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини
K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження
σcr = Pcr/A
Гнучкість
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня
w = 3 kN/mP = 20 kNABMA​ = ?5 m5 m

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 5 m і зосередженою силою P на відстані 10 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту MA у стіні.

L = 10 mP = 20 kN у 10 mw = 3 kN/m від 0 до 5 m
MA = kN·m
2.Опорні реакції балокСкладна
P = 25 kNQ = 70 kNADCRD​ = ?3 m1 m1 m3 m

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (4 m від A) і спирається на рухому опору в D (8 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 5 m від A і зосередженою силою Q на відстані 3 m від A. Знайдіть реакцію RD рухомої опори.

AC = 4 mAD = 8 mP = 25 kN у 5 mQ = 70 kN у 3 m
RD = kN
3.Поперечна сила і згинальний моментСередня
50 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 2 m50 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Поперечна сила і згинальний моментСкладна
w = 3 kN/mP = 70 kNAB2 m3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент Mmax у балці.

L = 5 mP = 70 kN у 2 mw = 3 kN/m від 0 до 5 m
Mmax = kN·m
5.Ферма: метод вирізання вузлівСередня
ABCDEFGH35 kN30 kN15 kN10 kN30 kN4 × 4 m3 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓C: 30 kN ↓F: 15 kN ↓G: 10 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент FC
  13. 13елемент HC
6.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна
ABCDEFGH35 kN20 kN35 kN25 kN15 kN4 × 4 m3 m

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓D: 20 kN ↓F: 35 kN ↓H: 25 kN ↓H: 15 kN ←
  1. 1елемент AB
  2. 2елемент BC
  3. 3елемент CD
  4. 4елемент DE
  5. 5елемент FG
  6. 6елемент GH
  7. 7елемент AF
  8. 8елемент HE
  9. 9елемент BF
  10. 10елемент CG
  11. 11елемент DH
  12. 12елемент BG
  13. 13елемент DG
7.Прогин балкиСередня
w = 12 kN/mP = 13 kNABδ2,5 m

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на вільному кінці. За принципом накладання знайдіть прогин δ вільного кінця.

P = 13 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Прогин балкиСкладна
w = 10 kN/mP = 23 kNδL = 3 m

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δmax.

P = 23 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Стійкість колонСередня
PL = 3 md = 60 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Стійкість колонСкладна
PL = 4 md = 40 mmпоперечний переріз

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm
σcr = MPa

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: MA = 237,5 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 3·5 = 15 kN, x̄ = 2,5 m

Момент відносно стіни

MA = P·a + W·x̄ = 20·10 + 15·2,5 = 237,5 kN·m

Відповідь

MA = 237,5 kN·m
2.Опорні реакції балок

Відповідь: RD = 6,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣMC = 0: RD·4 = 25·1
RD = 6,25 kN
VC = 25 − 6,25 = 18,75 kN

Відповідь

RD = 6,25 kN
3.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R1 = 66,67 kN, R2 = 33,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

MA = 0, MB = 133,3, MC = 166,7, MD = 200 kN·m, ME = 133,3, MF = 66,67, MG = 0

Відповідь

Позначка D: MD = 200 kN·m
4.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: Mmax = 93 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 70·2 + 3·5·2,5
RB = 177,5/5 = 35,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 35,5 = 49,5 kN

Де V = 0?

V(2⁻) = RA − w·2 = 43,5 kN
V(2⁺) = 43,5 − 70 = −26,5 kN
Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 49,5·2 − 3·2²/2 = 93 kN·m

Відповідь

Mmax = 93 kN·m

Це в точці x = 2 m від A.

5.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 86,67 kN (T), BC: 86,67 kN (T), CD: 73,33 kN (T), DE: 73,33 kN (T), FG: 106,7 kN (C), GH: 106,7 kN (C), AF: 108,3 kN (C), HE: 91,67 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 25 kN (T), HC: 41,67 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH
6.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 73,75 kN (T), BC: 69,17 kN (T), CD: 69,17 kN (T), DE: 64,58 kN (T), FG: 88,75 kN (C), GH: 79,58 kN (C), AF: 110,9 kN (C), HE: 80,73 kN (C), BF: 31,56 kN (T), CG: 0, DH: 23,44 kN (T), BG: 5,729 kN (T), DG: 5,729 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG
7.Прогин балки

Відповідь: δ = 21,48 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 13000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(3EI) = 13000·2500³/(3·5,88 × 10¹²) = 11,52 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 9,965 mm

Додайте

δ = 11,52 + 9,965 = 21,48 mm

Відповідь

δ = 21,48 mm
8.Прогин балки

Відповідь: δmax = 13,34 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δP = PL³/(48EI) = 23000·3000³/(48·1,76 × 10¹²) = 7,351 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 5,993 mm

Додайте

δmax = 7,351 + 5,993 = 13,34 mm

Відповідь

δmax = 13,34 mm
9.Стійкість колон

Відповідь: Pcr = 139,5 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критична сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139,5 kN

Відповідь

Pcr = 139,5 kN
10.Стійкість колон

Відповідь: σcr = 49,35 MPa

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

Критичне напруження

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Відповідь

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis